用中值定理证明下列不等式。
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令f(t)=ln(1+t)，(t>=0)
显然，对∀x>0，f(t)在[0,x]内连续，在(0,x)上可导，则根据拉格朗日中值定理，存在k∈(0,x)，使
f'(k)=[f(x)-f(0)]/(x-0)
1/(1+k)=ln(1+x)/x
ln(1+x)=x/(1+k)
因为x/(1+x)<x/(1+k)<x/(1+0)=x
所以x/(1+x)<ln(1+x)<x
显然，对∀x>0，f(t)在[0,x]内连续，在(0,x)上可导，则根据拉格朗日中值定理，存在k∈(0,x)，使
f'(k)=[f(x)-f(0)]/(x-0)
1/(1+k)=ln(1+x)/x
ln(1+x)=x/(1+k)
因为x/(1+x)<x/(1+k)<x/(1+0)=x
所以x/(1+x)<ln(1+x)<x
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2021-11-22 广告
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