Question

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为1/2,它的一个焦点恰好是抛物线y^2=4x的焦

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为1/2,它的一个焦点恰好是抛物线y^2=4x的焦点。我已求出
椭圆方程为(x^2/4)+(y^2/3)=1, (2)设AB为椭圆C的一条不垂直于x轴的弦，且过点（1，0），过A作关于x轴的对称点A*，证明直线A*B过x轴的另一个定点。

Answer 1

　　设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则A"(x1,-y1)。不妨假设x2>x1。
设AB的方程为y=k(x-1)，代入椭圆方程得：(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0。
韦达定理 x1+x2=8k^2/(3+4k^2)，
据直线得y1+y2=k(x1+x2)-2k=8k^3/(3+4k^2)-(6k+8k^3)/(3+4k^2)=-6k/(3+4k^2)。
若k=0，则AB平行x轴，A"B经过坐标原点，符合题意。
若k>0，则y1+y2<0，A"B的斜率=(y1+y2)/(x2-x1)>0，A"B过x轴。
若k<0，则y1+y2>0，A"B的斜率=(y1+y2)/(x2-x1)<0，A"B过x轴
总之，直线A"B经过x轴。

Answer 2