Question

高等数学 二重积分 求详解。

Answer 1

积分域是：
x^2+y^2≤2y
x^2+y^2-2y≤0
x^2+(y-1)^2≤1
积分是在上述圆的范围内进行.
令x=pcos(θ),y=psin(θ),此圆的方程可写为：
[pcos(θ)]^2+[psin(θ)-1]^2=1
p^2-2psin(θ)+1=1
p(p-2sin(θ)=0
解得：p=0和p=2sin(θ)
显然p=2sin(θ)是此圆的极坐标方程.
对任一个给定的p,可求出此圆上对应的θ:
θ=arcsin(p/2)
利用积分函数的对称性（对y轴对称）,θ的积分范围可定为[arcsin(θ),pai/2],p的范围是从0到2.将积分结果乘2,即得最后结果.
此处,pai代表圆周率.

Answer 2

积分域 D 为圆 r = 2cost 的上半圆。
I = ∫<0, π/2>dt ∫<0, 2cost> r rdr
= ∫<0, π/2>(8/3)(cost)^3dt
= (8/3) ∫<0, π/2>[1 - (sint)^2] dsint
= (8/3) [sint - (sint)^3/3]<0, π/2> = 16/9