Question

有理数和无理数定义的区别是什么

Answer 1

有理数和无理数定义有3点不同：

一、两者的含义不同：

1、有理数的含义：数学中，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通常为a/b，0也是有理数。

2、无理数的含义：在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。

二、两者的特征不同：

1、有理数的特征：有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。

2、无理数的特征：无理数的小数部分是无限不循环的数。

三、两者的实质不同：

1、有理数的实质：有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

2、无理数的实质：无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、根号2等。

参考资料来源：百度百科-有理数

参考资料来源：百度百科-无理数

Answer 2

整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n的形式，m，n都是整数，且n≠0，m，n互质。
　　无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 ,比如π，3.1415926535897932384626......
　　而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数
　　包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
　　这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。
　　数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο?? ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。
　　所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。
　　有理数分为整数和分数
　　整数又分为正整数、负整数和0
　　分数又分为正分数、负分数
　　正整数和0又被称为自然数
　　如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。
　　全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
　　有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。
　　有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：
　　①加法的交换律 a+b=b+a；
　　②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
　　③存在数0，使 0+a=a+0=a；
　　④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
　　⑤乘法的交换律 ab=ba；
　　⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
　　⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；
　　⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；
　　⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
　　⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还于0。
　　此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。
　　有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。
　　值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
　　有理数加减混合运算
　　1.理数加减统一成加法的意义：
　　对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。
　　2.有理数加减混合运算的方法和步骤：
　　（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
　　（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。
　　有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。
　　一般情况下，有理数是这样分类的：
　　整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数
　　整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。
　　凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数
　　一个困难的问题
　　有理数的边界在哪里？
　　根据定义，无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。
　　但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。
　　竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。
　　定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。
　　证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。
　　关于无理数与有理数无法比较的说明：
　　对于定义无限不循环小数是无理数，无理数之外为有理数。则无理数很难被证实，而每一个无理数，无论认识多少位，都有有理数对应，而位数较短的有理数，都没有无理数对应，因此有理数多。
　　对于定义为有限位小数和无限循环小数为有理数，无限不循环数为无理数。对于很多位数多的无法分辨的数没有明确归属，而认为大于特定有限位的数都是无理数的人，才能证明无理数比有理数多，但那明显是将很多很多有理数归为无理数的结果。在这个定义下，由于界限不明，无法进行比较，除非有人能有力的证明。
　　无限不循环小数不是有理数，如：
　　0.10100100010000100000......
　　0.1200000012000012000000120000......
　　π
　　等是无限不循环小数，所以不是有理数
　　循环小数化分数的方法
　　0.777777......
　　有一个数循环，分母是一个9，循环数是7.化分数后是7/9
　　0.535353......
　　有两个数循环，分母是两个9，循环数是53.化分数后是53/99
　　我们可以在数轴上表示有理数.注意画数轴的三要素(原点,正方向,单位长度).

Answer 3

有理数：有理数分为正有理数，负有理数，0。有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，只要是无限循环小数的都叫有理数。如：3.12121212121212……

无理数：无限不循环小数。无理数应满足三个条件：①是小数；②是无限小数；③不循环．圆周率π=3.141592653……

复数：形如a＋bi的数。式中a，b为实数，i是一个满足i2＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。

实数：有理数和无理数统称为实数

整数：整数包括正整数,负整数和0.
如正整数:1、2、3．．．．．．
负整数：－1、－2、－3．．．．．．

自然数：自然数，就是人们数数时产生的数（如“有3个苹果”），所以用来表示物体个数的数叫做自然数。一个物体也没有，当然可以用“0”来表示，所以“0”也是自然数。

Answer 4

无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,
比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太了解罢了。

Answer 5

有理数指整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数
无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。