Question

椭圆上怎么求二重积分？

Answer 1

• 可以利用椭圆(x^2/a^2+y^2/b^2=1)上的参数方程：
  

• x=acosθ
  

• y=bsinθ
  

• 因此椭圆区域内的点（x,y）可以做参数化为x=arcosθ,y=brsinθ，其中0≤r≤1，0≤θ≤2π

• 椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个 焦点。表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。 

• 椭圆是 圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的 截线。 

• 椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。

• 椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成的立体图形，其内表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；

• 椭圆的 透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜）。

• 老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）。

Answer 2

广义极坐标变换:
x=a rcosθ,y=b rsinθ,直角坐标(x,y) 极坐标（r,θ）
面积元素dxdy= a b r drdθ
面积= θ:0-->2π, r:0-->1 被积函数是abr 的二重积分
=∫【0,2π】dθ∫【0,1】abrdr
=2π*ab*(1/2)
=πab

Answer 3

可以利用椭圆(x^2/a^2+y^2/b^2=1)上的参数方程：
x=acosθ

y=bsinθ

因此椭圆区域内的点（x,y）可以做参数化为x=arcosθ,y=brsinθ，其中0≤r≤1，0≤θ≤2π

Answer 4

广义极坐标变换: x=a rcosθ,y=b rsinθ,直角坐标(x,y) 极坐标(r,θ) 面积元素dxdy= a b r drdθ 面积= θ:0-->2π, r:0-->1 ...

Answer 5

在dz上的积分等于该截面（椭圆）的面积。该等式后多了一个数字2，但结果又是对的。