Question

一道线性代数问题

设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关。
希望给出证明过程！

Answer 1

反证：b1,b2,b3,b4线性无关：
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a4)+k4(a1+a4)=0;
a1(k1+k4)+a2(k1+k2)+a3(k2+k3)+a4(k3+k4)=0;
设a1,a2,a3,a4线性无关，有k1+k4=0，k1+k2=0，k2+k3=0，k3+k4=0；
k1=-k2=k3=-k4;代入消常数得b1-b2+b3-b4=0,线性相关，矛盾，所以假设不成立；即b1,b2,b3,b4线性相关。

Answer 2

证明 c1b1+c2b2+c3b3+c4b4=0中 c1,c2,c3,c4不全为零。
a1c1+c1a2+a2c2+a3c2+c3a3+c3a4+c4a4+c4a1=0
a1(c1+c4)+(c1+c2)a2+(c2+c3)a3+（c3+c4）a4=0

c1+c4=0
c1+c2=0
c2+c3=0
c3+c4=0

---->c4=c2(可能=0)
由此：b4=b3-b2+b1
即，b4可以用其他三个向量表示，即：此4向量为现行相关