Question

为什么在讨论函数极值点时候，要强调在某点，某区间连续，不连续会怎么样？

Answer 1

最佳答案从第一句话开始就是瞎扯， 首先，他说凹或者凸都会产生极值，完全错误。例如y=x的三次方，是单调增函数，左边凸，右边凹，但没极值点。
其次，他说产生极值的第二充分条件是二阶导数等于0？正确答案应该是：在这点一阶导数等于0的情况下，二阶导数大于或者小于0。
最后，左右函数可导，就说明中间点可导？完全错误，这点不必可导，也不必连续。极值点本来就与可不可导无关，甚至不需要连续。
下面我回答下你的问题，首先，讨论一点是不是极值点根本不需要连续，只要这点邻域内有定义就行，再说一遍：不需要连续，不需要可导。就算是一个可去间断点，你也可以讨论这点是不是取极值。
你说讨论这个点的时候，为什么会强调连续。那是因为你不是在讨论这个点，你是在讨论如何证明这个点是极值。如果你按第一充分条件与第二充分条件证明，那么你就需要以连续为前提，才能证明出来。
你若是用第一充分条件证明，函数连续，左右导数变号，这点是极值点。这三个条件缺一不可，如果缺少连续这个条件，那么你不能确定这点是极大值，还是极小值，你只能确定是极值。比如，连续函数，左边增，右边减，中间是极大值，这必须是连续的，如果不连续，中间那个点的值完全可以小于左右两边的值，成为一个断点，成为极小值。
若用第二充分条件证明，一阶导数等于0，二阶导数大于或者小于0。
这个证明方法，就是默认了连续，因为可导必然连续，说详细点，就是这点连续，并且可导，而且一阶导数为0，二阶导数大于小于0。
这两种证明方法都是以连续为前提的，如果不连续，第一种方法不能精确证明到底是极大值还是极小值，第二种方法根本不能用。
连续，只是你用这两种证明方法证明极值的条件，不是极值的充要条件，只是充分条件，不是必要条件，由此也能看出，这两种方法是有缺陷的，并不是百分百能证明出极值的方法。
所以我再吐槽下最佳答案的最后两句，不连续是可以判断出极值的，不连续也可以存在极值的。这个问题很显然，也不是想想就能明白的，好好学习才是真理。

Answer 2

讨论极值点只要求在点的某领域内有定义 并不要求连续 更不要求可导 比如可去间断点就可以是极值点

Answer 3

极值点不一定可导，不一定连续

Answer 4

单调性……………………