Question

高中数学，第2题

Answer 1

2 解：由题意可得直线 l 的点斜式方程为y-1=a(x-1)
所以 l 是过定点A(1，1)且斜率为a的直线
由圆C的方程可知 圆心C为原点(0，0) 半径为2
所以定点A(1，1)在圆C内部
连结AC（点C即原点），由圆的性质可知，当直线 l 垂直于直线AC时，l 被圆C截得的弦最短
这时a= -1 且最短弦长度为2倍根号2

Answer 2

注意到直线L恒过点P(1,1)，OP=√2，半径r=2，最短的弦长在L⊥OP时取得，弦长=2√(r^2-OP^2)=2√2，此时a=–1。
要求此时的a，先对L的表达式变形得L：y=ax–a+1。容易求得OP：y=x。由直线垂直的性质（k1k2=–1）可以求得a=–1。