求和函数n=1到无穷∑n(n+1)*x^n-1/2^n-1并求∑n(n+1)/2^n-1的值
1个回答
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答：16/(2-x)³、16
Σ(n=1,∞) n(n+1)xⁿ⁻¹/2ⁿ⁻¹
= Σ(n=1,∞) n(n+1)xⁿ⁻¹，x=x/2
= Σ(n=1,∞) d/dx (n+1)xⁿ，x=x/2
= d/dx Σ(n=1,∞) (n+1)xⁿ，x=x/2
= d/dx Σ(n=1,∞) d/dx xⁿ⁺¹，x=x/2
= d²/dx² Σ(n=1,∞) xⁿ⁺¹，x=x/2
= d²/dx² x²/(1-x)，x=x/2
= 2/(1-x)³，x=x/2
= 2/(1-x/2)³
= 16/(2-x)³
Σ(n=1,∞) n(n+1)/2ⁿ⁻¹
= Σ(n=1,∞) n(n+1)*(x/2)ⁿ⁻¹，x->1
= 16/(2-1)³
= 16
Σ(n=1,∞) n(n+1)xⁿ⁻¹/2ⁿ⁻¹
= Σ(n=1,∞) n(n+1)xⁿ⁻¹，x=x/2
= Σ(n=1,∞) d/dx (n+1)xⁿ，x=x/2
= d/dx Σ(n=1,∞) (n+1)xⁿ，x=x/2
= d/dx Σ(n=1,∞) d/dx xⁿ⁺¹，x=x/2
= d²/dx² Σ(n=1,∞) xⁿ⁺¹，x=x/2
= d²/dx² x²/(1-x)，x=x/2
= 2/(1-x)³，x=x/2
= 2/(1-x/2)³
= 16/(2-x)³
Σ(n=1,∞) n(n+1)/2ⁿ⁻¹
= Σ(n=1,∞) n(n+1)*(x/2)ⁿ⁻¹，x->1
= 16/(2-1)³
= 16
更多追问追答
追问
能拿纸写一下吗，后面的x=x/2是什么意思
追答
把x=x/2代入原式，可以理解为lim(x->x/2)
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