Question

定义在(-1,1)上的函数f(x)= - x^3-sinx,如果f(1-a)+f(1-a^2)>0,则实数a的取值范围为

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Answer 1

f(x)=-x^3-sinx,x(-1,1)
f(-x)=-(-x)^3-sin(-x)
=-f(x)
所以f(x)是奇函数
f'(x)=-3x^2-cosx
-1<x<1
0<x^2<1
-3<-3x^2<0
0<cosx<cos1
-3-cos1<-3x^2-cosx<0
所以f(x)在(-1,1)是减函数
f(1-a)+f(1-a^2)>0
f(1-a)>-f(1-a^2)=f(a^2-1)
1-a<a^2-1
a^2+a-2>0
(a+2)(a-1)>0
a<-2,a>1
又:
-1<1-a<1
-1<a^2-1<1

-2<-a<0
0<a<2

0<a^2<2
-根号2<a<0,0<a<根号2

综上,
1<a<根号2

Answer 2

f(-x)=-(-x)^3-sin(-x)=x^3+sinx=-f(x)
所以f(x)是奇函数
f'(x)=-3x^2-cosx
在(-1,1)上，3x^2，cosx均大于0
所以f'(x)<0
即f(x)是减函数
由f(1-a)+f(1-a^2)>0得：
f(1-a)>-f(1-a^2)
f(1-a)>f(a^2-1)
得：1-a<a^2-1,-1<1-a<1,-1<a^2-1<1
解得：0<a<√2