Question

在三角形ABC中 B=60° tanAtanC=2+根号3C的对边c上的高为4倍根号三 求三角形三

在三角形ABC中 B=60° tanAtanC=2+根号3C的对边c上的高为4倍根号三 求三角形三边长

Answer 1

∵ B=60°
∴ A+C=120°
∴ tan(A+C)=(tanA+tanC)/(1-tanAtanC) = tan120° = -√3
∵ tanAtanC=2+√3

∴ (tanA+tanC)/(1-2-√3) = -√3
∴ (tanA+tanC)/(-1-√3) = -√3
∴ tanA+tanC=(1+√3)√3 = 3+√3
∴tanA、tanC是方程x²-(3+√3)x+2+√3=0
∴x1=1，x2=2+√3

ABC都是锐角，tanB=√3，sinB=√3/2

当tanC=1，tanA=2+√3时：

sinC=√2/2，sinA=tanA/(1+tan²A）=(2+√3)/√(8+4√3) = (√6+√2)/4
∵c边上的高CD=4√3
∴c=4√3/tanA+4√3/tanB=4√3/(2+√3)+4√3/√3 = 8(√3-1)
b=csinB/sinC=8(√3-1)*(√3/2) / (√2/2) = 4(3√6-√2)
a= csinA/sinC = 8(√3-1) * [(√6+√2)/4] /(√2/2) = 8

当tanA=1，tanC=2+√3时：

sinA=√2/2，sinC=tanC/(1+tan²C）=(2+√3)/√(8+4√3) = (√6+√2)/4
∵c边上的高CD=4√3

∴c=4√3/tanA+4√3/tanB=4√3/1 + 4√3/√3 = 4(√3+1)
b=csinB/sinC = 4(√3+1)*(√3/2) / [(√6+√2)/4] = 4√6
a= csinA/sinC = 4(√3+1) * (√2/2) / [(√6+√2)/4] = 8