Question

等腰三角形AOB内接与抛物线y^2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则三角形AOB的面积是

Answer 1

等腰△AOB内接于抛物线y^2=2px(p>0),O为抛物线的顶点，OA⊥OB，求△AOB的面积
解：设OA的方程为y=kx,
则OB的方程为y=-1/k*x
而OA=OB,所以根据抛物线关于x轴的对称性,
OB的方程应该为y=-kx
所以-1/k=-k 所以k=-1,+1
把OA与抛物线联立求出A的坐标 k^2x^2=2px
所以x=2p/(k^2) y=2p/k
所以A(2p/k^2,2p/k) 同理B(2pk^2,-2pk)
所以OA=√(4p^2/k^4+4p^2/k^2) =2p*√(1/k^4+1/k^2) =2p/k^2*√(1+k^2) OB=√(4p^2k^4+4p^2*k^2) =2p*k^2*√(1+1/k^2)
所以S(AOB)=1/2*OA*OB =1/2*4p^2*√(1+k^2)*√(1+1/k^2) =2p^2*√(1+k^2+1/k^2+1) =2p^2*√(2+k^2+1/k^2) =2p^2*√4 =4p^2

简单的解法：因为AOB是等腰直角三角形，所以OA与x轴夹角为45度，且OA过远点，则OA的直线方程为y=x.

则A点的坐标即位直线y=x与抛物线y^2=2px(p>0)的交点坐标，即为（2p,2p),则OA的长为2*2^0.5*p.

三角形OAB面积为1/2*2*2^0.5*p*2*2^0.5*p=4p^2.

Answer 2

p>0
OA=OB,OA⊥OB,∠AOB=90°,∠OAB=∠OBA=45°
xA=xB>0
设yA>0，则
xA=xB=yA=-yB
设xA=yA=a≠0时，OA⊥OB，则
由y^2=2px，得
a^2=2pa
a=2p,AB=4p
S△AOB=2p*4p/2=4p^2
三角形AOB的面积=4p^2

Answer 3

A(x1,y1)则B（x1,-y1)
OA⊥OB
x1²=y1²
x1¹=2px1
x1=2p
AOB的面积是=1/2×x1×2y1=4p²

Answer 4

简单