Question

微积分求极限，划红线的这一步是怎么来的？

Answer 1

　　解：为利用画蓝线的无穷小量替换表达式而“凑”的。过程是，[a^(x^2)+b^(x^2)-a^x-b^x]/x=[a^(x^2)-1+b^(x^2)-1-(a^x-1)-(b^x-1)]/x=x[a^(x^2)-1]/x^2+x[b^(x^2)-1]/x^2-[(a^x-1)/x-[(b^x-1)]/x。
　　【其实，若用无穷小量替换，不这样“变形”也可。当x→0时，a^x=e^(xlna)~1+xlna，∴[a^(x^2)+b^(x^2)]/(a^x+b^x)]~[2+(x^2)ln(ab)]/(2+xlnab)=1-(x^2-x)(lnab)/(2+xlnab)，∴原式=e^{lim(→0)(1/x)ln[1-(x^2-x)(lnab)/(2+xlnab)]}=e^[(1/2)lnab]=(an)^(1/2)。
　　供参考。