Question

高数通解问题，求详细过程

Answer 1

设原二阶非齐次线性微分方程为：y''+A(x)y'+B(x)y=f(x)
分别将y=1，y=x，y=x^2代入方程
①0+0+B(x)=f(x)，得：B(x)=f(x)
②0+A(x)+xB(x)=f(x)，得：A(x)=(1-x)f(x)
③2+2xA(x)+x^2*B(x)=f(x)，得：f(x)=2/(1-x)^2
所以原方程为：y''+[2/(1-x)]*y'+[2/(1-x)^2]*y=2/(1-x)^2
则齐次方程为：y''+[2/(1-x)]*y'+[2/(1-x)^2]*y=0
易知，y=1-x，y=(1-x)^2是齐次方程的两个线性无关的特解
所以y=C1*(1-x)+C2*(1-x)^2是齐次方程的通解
因为y=1是非齐次方程的特解
所以y=1+C1*(1-x)+C2*(1-x)^2是原方程的通解，其中C1,C2是任意常数