Question

关于泰勒公式的余项，同一个展开式余项的次方为什么可以变化？？是因为高阶无穷小吗？？图片例子

关于泰勒公式的余项，同一个展开式余项的次方为什么可以变化？？是因为高阶无穷小吗？？图片例子比如图里x^4可以写作x^3

Answer 1

首先，被展开的sinx这个部分是个奇函数
所以在x=0点处展开成泰勒公式后，只含x的奇数次方项，不含x的偶数次方项。
所以在x³项之后，是x的5次方项和比5次方还高的项。
所以后面的余项，无论是写成X^4的高阶无穷小，还是x³的高阶无穷小，都无所谓。
因为x的5次方项和比5次方还高的项即是X^4的高阶无穷小，当然更是x³的高阶无穷小
而我们写这些的目的，是使得余项除以分母的x³后，极限是0
所以无论是写成0（x³），还是写成0（x^4），都无所谓。

事实上就是说，余项是x的4次方的高阶无穷小。
但是做题的时候，只需要确认是x³的高阶无穷小，就足够了。
而x的4次方的高阶无穷小，必然是x³的高阶无穷小。
所以无论是写成0（x³），还是写成0（x^4），都可以满足解出这个极限的要求。