Question

用定积分的换元法求上限√2,下限-√2 ,√(8-2y^2) dy的定积分

Answer 1

1、令x^2-x=x(x-1)>0

x>1或 x2)(x^2-x)dx

=(x^3/3-x^2/2)|(-1->0) -(x^3/3-x^2/2)|(0->1) +(x^3/3-x^2/2)|(1->2)

=[(0-0)-(-1/3-1/2)]-[(1/3-1/2)-(0-0)]+[(8/3-4/2)-(1/3-1/2)]

=5/6+1/6 +5/6

=11/6

2、作出曲线图，欲求两曲线围成的图形面积即求解两曲线为边界条件的积分函数，简化之，则由图可将求解面积拆分成四部分，分别是：

曲线y^2=x+4在坐标轴第四象限与x轴的负轴、y轴的正轴形成的图形即在x属于[-4，0]区间与x轴围成的图形面积S1；

曲线x+2y-4=0在坐标轴第一象限与x轴的正轴、y轴的负轴形成的三角形面积S2；

曲线y^2=x+4在坐标轴第二第三象限在x属于[-4，12]区间与x轴围城的图形面积S3；

曲线x+2y-4=0在第二象限在x属于[4，12]区间与x轴围城的三角形面积S4

扩展资料：

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，

参考资料来源：百度百科-定积分

Answer 2

作与x轴直线穿过积分区域，与积分区域的两个交点即为x的上下限，显然是y^2-2y≤x≤-y，参考下图：

Answer 3

欲求曲线y^2=x+4与x+2y-4=0围成的图形的面积：
（1）求曲线y^2=x+4与x+2y-4=0的交点，y^2=8-2y，解得交点为（0，2）和（12，-4），x+2y-4=0与x轴交点为（4，0）、与y轴交点为（0，2），即曲线y^2=x+4与x+2y-4=0恰好交于y轴上
（2）作出曲线图，欲求两曲线围成的图形面积即求解两曲线为边界条件的积分函数，简化之，则由图可将求解面积拆分成四部分，分别是：
曲线y^2=x+4在坐标轴第四象限与x轴的负轴、y轴的正轴形成的图形即在x属于[-4，0]区间与x轴围成的图形面积S1；
曲线x+2y-4=0在坐标轴第一象限与x轴的正轴、y轴的负轴形成的三角形面积S2；
曲线y^2=x+4在坐标轴第二第三象限在x属于[-4，12]区间与x轴围城的图形面积S3；
曲线x+2y-4=0在第二象限在x属于[4，12]区间与x轴围城的三角形面积S4