Question

高中数学 数列

Answer 1

(1)
n=1时，S1=a1=λa1-2
(λ-1)a1=2
a1=2代入，得λ-1=1
λ=2
Sn=2an-2
n≥2时，
an=Sn-S(n-1)=2an-2-[2a(n-1)-2]=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值
数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列
an=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ
(2)
bn=1/[log2(an)log2(a(n+2))]
=1/[log2(2ⁿ)log2(2ⁿ⁺²)]
=1/[n(n+2)]
=½[1/n -1/(n+2)]
Tn=b1+b2+...+bn
=½[1/1 -1/3 +1/2 -1/4+...+1/n -1/(n+2)]
=½[1+ 1/2 -1/(n+1) -1/(n+2)]
=¾ -1/(2n+2) -1/(2n+4)
1/(2n+2)>0，1/(2n+4)>0，¾ -1/(2n+2) -1/(2n+4)<¾
Tn<¾

Answer 2

17.a1=2,
Sn=λan-2,
令n=1,得2=2λ-2，解得λ=2.
∴Sn=2an-2,①
以n-1代n,得S<n-1>=2a<n-1>-2,②
①-②，得an=2an-2a<n-1>,
∴an=2a<n-1>,
∴数列{an}是等比数列，an=2^n.
bn=1/[n(n+2)]=（1/2）[1/n-1/(n+2)],
∴Tn=(1/2)[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]<3/4.