Question

高数题 求大神解答 用数学归纳法怎么证明 如图

高数题 求大神解答 用数学归纳法怎么证明 如图如图 如题 知道答案 不知道怎么证明 用数学归纳法 求大神讲解 谢谢

Answer 1

例1：
n=1时，y'=e^x+xe^x=(x+1)·e^x
假设当n=k(k∈N*)时，y(k)=(x+k)·e^x，则当n=k+1时
y(k+1)=[(x+k)·e^x]'
=(x+k)'·e^x+(x+k)·(e^x)'
=1·e^x+(x+k)·e^x
=(x+k+1)·e^x
k为任意正整数，因此对于任意正整数n，y(n)=(x+n)·e^x
例2：
y=xe^(-x)
n=1时，y'=(-1)·(x-1)·e^(-x)
假设当n=k(k∈N*)时，y(k)=(-1)^k·(x-k)·e^(-x)，则当n=k+1时
y(k+1)=[(-1)^k·(x-k)·e^(-x)]'
=(-1)^k·[(x-k)'·e^(-x)+(x-k)·(e^(-x))']
=(-1)^k·[e^(-x)-(x-k)·e^(-x)]
=(-1)^k·[(k+1-x)·e^(-x)]
=(-1)^(k+1)·[x-(k+1)]·e^(-x)
k为任意正整数，因此对于任意正整数n，y(n)=(-1)ⁿ·(x-n)·e^(-x)

追问

谢谢

Answer 2

例1y'=e^x+xe^x=(1+x)e^x,
y''=(2+x)e^x,
……
y^(n)=(n+x)e^x.
仿上解例2.