Question

设α1，α2，α3是ax=b的3个线性无关的解，那么α1-α2 α1-α3是Ax=0线性无关的解,有这个定理吗？

设α1，α2，α3是ax=b的3个线性无关的解，那么α1-α2 α1-α3是Ax=0线性无关的解,有这个定理吗？为什么没有α2 -α3？

Answer 1

证法1.用定义设k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0则(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0由已知α1,α2,α3线性无关所以k1+k3=0k1+k2=0k2+k3=0由于系数行列式=101110011=2≠0所以k1=k2=k3=0所以α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关.证法2.用矩阵的秩由已知,(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=(α1,α2,α3)KK=101110011而|K|=2≠0,故K可逆所以r(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=r[(α1,α2,α3)K]=r(α1,α2,α3)=3所以α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关.

追问

你这回答的和我问的就没关系啊

Answer 2

这个要看A的秩。如果A是四阶r(A)＝3，那么A的基础解系只有一个α1-α2。如果r(A)＝1，那么A的基础解系有三个，既α1-α2 α1-α3 α2-α3