Question

求大神解答，在线等，着急

Answer 1

令x2=0，则f(x1)+f(x1)=2f(x1)f(0)
2f(x1)=2f(x1)f(0),→f(x1)=0或f(0)=0
①若f(x1)=0,则等价于对任意x∈R，f(x)=0，此时f(x)为偶函数
②若f(x1)≠0，则f(0)=1
此时令x1=0，则f(x2)+f(-x2)=2f(x2)f(0)
移项后得到f(-x2)=f(x)
又因为x∈R，所以f(x)为偶函数
综上所述，函数f(x)为偶函数
设a为实数，函数f(x)=x|x-a|.
(1)当-1<=x<=1时，讨论f(x)的奇偶性；
(2)当0<=x<=1时，求f(x)的最大值。
(1)解析：∵函数f(x)=x|x-a|，x∈[-1,1]，
当a=0时，f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
当a≠0时，f(a)=0，f(-a)=-a|-a-a|=-2a|a|≠0，
∴f(-a)≠f(a)且f(-a)≠-f(a)，
∴f(x)既不是奇函数又不是偶函数．
(2)解析：令0≤x≤1
当a≤0时，f(x)=x(x-a)图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=a/2<0,
∴f(x)为增函数，
∴x=1时，f(x)max=f(1)=1-a．
当a＞0时，∴f(x)=|x(x-a)|=|x^2-ax|，其图象如图所示：
向左转|向右转

∵y=x^2-ax(a>0)==>零点：x1=0，x2=a，
当x=a/2时，ymin=-a^2/4，当x=(1+√2)/2a时，y=a^2/4
①当a/2≥1==>a≥2时，f(x)单调增，∴f(x)max=f(1)=a-1．
②当a/2＜1≤(1+√2)/2a==>2(√2?1)≤a＜2时，f(x)max＝f(a/2)=a^2/4．
③当(1+√2)/2a＜1==>0＜a＜2(√2?1)时，f(x)max=f(1)=1-a．
综上：当0<a＜2(√2?1)时，f(x)max=1-a；
当2(√2?1)≤a＜2时，f(x)max=a^2/4；
当a≥2时，f(x)max=a-1．