如何教好小学数学教学
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孔子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。随着教学改革的深入，我们的数学课堂教学开始变得更自由、更灵活，学生也始终在愉快的状态下积极地学习数学，这的确是我们数学教学改革的一个可喜变化。教师要善于诱发学生的学习兴趣，要充分利用数学课堂，把它创设成充满活力、魅力无穷的空间，从而激发学生的思维，让他们积极地感受数学美，去追求数学美。
一、从生活经验入手，创设情境调动课堂气氛
数学知识与现实生活是有密切联系的，新教材中也给出了许多例子，教师要尽量用学生熟悉的生活情境或生活经验入手引出学习内容，这样学生乐于接受。也可以让学生例举数学知识在生活中的应用。小学生有着好奇心、疑问心、爱美心强和活泼好动的特点。数学教师要从这些方面多去思考，充分地发挥小学生非智力因素在学习中的作用，在课堂中创设出学与“玩”融为一体的教学方法，学生在“玩”中学，在学中“玩”。
二、动手实践让学生的感性认识上升到理性认识
根据费赖登塔尔的观点，教师在数学教学中应注意培养学生动手实践、自主探索的精神。小学生年龄小，抽象思维能力弱，教师应引导学生充分利用和创造各种图形或物体，调动各种感观参与实践，同时教给学生操作方法，激发思维去思考，从中自我发现数学知识，掌握数学知识。让学生动手实践，能激发学生的学习兴趣。
三、实行民主教学，构建轻松和谐的师生双边活动
在课堂上，师生的双边活动轻松和谐，师生们展示的是真实的自我。课堂上针对老师提出的问题，同学们时而窃窃私语，时而小声讨论，时而高声辩论。同学们争相发言，有的居高临下，提纲挈领；有的引经据典，细致缜密。针对同学们独具个性的发言，老师不时点头赞许，对表达能力较差的学生，老师则以信任鼓励的目光和话语激活学生的思维。学生自然敢于讲真话、讲实话，个性得到充分地张扬。
四、帮学生建立学习数学的自信心
如我班一位女生，数学基础差，学习态度不明确，很要面子，别人帮助她学习她还不愿意，认为很没面子。问她懂了吗，都是说懂的，作业往往又是错的，看得出做作业时很急躁。我从写字开始，要求她把字写端正，允许作业少做，要求做一题对一题，不会做的重新做，做对了继续，让她认识到她也能做对，慢慢地树立学习的信心，发现优点及时大力地表扬，使她尝到成功的喜悦，并且认识到学习需要脚踏实地一步一步来，不能有任何虚假的行为。渐渐地，她对数学有些信心了，字写端正了，成绩也提高了。
一、从生活经验入手，创设情境调动课堂气氛
数学知识与现实生活是有密切联系的，新教材中也给出了许多例子，教师要尽量用学生熟悉的生活情境或生活经验入手引出学习内容，这样学生乐于接受。也可以让学生例举数学知识在生活中的应用。小学生有着好奇心、疑问心、爱美心强和活泼好动的特点。数学教师要从这些方面多去思考，充分地发挥小学生非智力因素在学习中的作用，在课堂中创设出学与“玩”融为一体的教学方法，学生在“玩”中学，在学中“玩”。
二、动手实践让学生的感性认识上升到理性认识
根据费赖登塔尔的观点，教师在数学教学中应注意培养学生动手实践、自主探索的精神。小学生年龄小，抽象思维能力弱，教师应引导学生充分利用和创造各种图形或物体，调动各种感观参与实践，同时教给学生操作方法，激发思维去思考，从中自我发现数学知识，掌握数学知识。让学生动手实践，能激发学生的学习兴趣。
三、实行民主教学，构建轻松和谐的师生双边活动
在课堂上，师生的双边活动轻松和谐，师生们展示的是真实的自我。课堂上针对老师提出的问题，同学们时而窃窃私语，时而小声讨论，时而高声辩论。同学们争相发言，有的居高临下，提纲挈领；有的引经据典，细致缜密。针对同学们独具个性的发言，老师不时点头赞许，对表达能力较差的学生，老师则以信任鼓励的目光和话语激活学生的思维。学生自然敢于讲真话、讲实话，个性得到充分地张扬。
四、帮学生建立学习数学的自信心
如我班一位女生，数学基础差，学习态度不明确，很要面子，别人帮助她学习她还不愿意，认为很没面子。问她懂了吗，都是说懂的，作业往往又是错的，看得出做作业时很急躁。我从写字开始，要求她把字写端正，允许作业少做，要求做一题对一题，不会做的重新做，做对了继续，让她认识到她也能做对，慢慢地树立学习的信心，发现优点及时大力地表扬，使她尝到成功的喜悦，并且认识到学习需要脚踏实地一步一步来，不能有任何虚假的行为。渐渐地，她对数学有些信心了，字写端正了，成绩也提高了。
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一、要精心设计好导入课
好的开端是成功的一半。引人入胜的导入，能为学生学习新知识创造一个愉快和谐的教学氛围，激发学生学习的兴趣，唤起学生学习的自觉性和创造性，让学生愿学、乐学、善学。从而提高教学效果，保证素质教育的实施。
二、要充分利用风趣和幽默
恰当的风趣幽默，能活跃课堂气氛，起到组织教学的作用，许多有经验的教师上课时常出现师生开怀大笑而又秩序井然的气氛，这都得益于教学中的风趣与幽默。如在讲“鸡兔同笼”问题：“有头45个，足116只，问鸡兔各几何？”时学生心算、笔算后仍面露难色。这时教师下令：“全体兔子起立！提起前面两足！”学生开怀大笑。之后，教师说：“现在兔子和鸡的足数一样了，上面45个头，下面多少足呢？”学生答：“45×2＝90只。”“少了多少足？”“26只”这时学生欢快地叫起来“有26÷2＝13只兔子，32只鸡”。
三、适当的表扬奖励是上好数学课堂的添加剂
教师要给每一位学生成功的机会，尤其是应“偏爱”学习困难的学生。教师要善于设法消除学生的紧张畏惧心理，对学生在课堂上的表现，采用激励性的评价、补以适当的表扬,学生得到老师的奖励，参与学习的积极性就高了，就会更进一步地去发现问题，发挥前所未有的想象力
总之，在小学数学教学中，应从生活经验入手，通过多种形式，创设有意义的、富有挑战性的、激励性的问题情景，最大限度地激发学生学习的内在动力。
好的开端是成功的一半。引人入胜的导入，能为学生学习新知识创造一个愉快和谐的教学氛围，激发学生学习的兴趣，唤起学生学习的自觉性和创造性，让学生愿学、乐学、善学。从而提高教学效果，保证素质教育的实施。
二、要充分利用风趣和幽默
恰当的风趣幽默，能活跃课堂气氛，起到组织教学的作用，许多有经验的教师上课时常出现师生开怀大笑而又秩序井然的气氛，这都得益于教学中的风趣与幽默。如在讲“鸡兔同笼”问题：“有头45个，足116只，问鸡兔各几何？”时学生心算、笔算后仍面露难色。这时教师下令：“全体兔子起立！提起前面两足！”学生开怀大笑。之后，教师说：“现在兔子和鸡的足数一样了，上面45个头，下面多少足呢？”学生答：“45×2＝90只。”“少了多少足？”“26只”这时学生欢快地叫起来“有26÷2＝13只兔子，32只鸡”。
三、适当的表扬奖励是上好数学课堂的添加剂
教师要给每一位学生成功的机会，尤其是应“偏爱”学习困难的学生。教师要善于设法消除学生的紧张畏惧心理，对学生在课堂上的表现，采用激励性的评价、补以适当的表扬,学生得到老师的奖励，参与学习的积极性就高了，就会更进一步地去发现问题，发挥前所未有的想象力
总之，在小学数学教学中，应从生活经验入手，通过多种形式，创设有意义的、富有挑战性的、激励性的问题情景，最大限度地激发学生学习的内在动力。
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如何教好小学数学
【编者按】
经过两年的小学教学实践，发现有些硬问题是需要去面对的，教学仅凭美好的愿望和满腔热情，或者仅凭国外专家的意见，是远远不够的。我们必须承认，教育本身是一门学科。故近期准备邀约一些有丰富教育经验和独特心得的老师和朋友，来展开一系列的教学研讨活动，有兴趣的朋友欢迎参与。
孙老师，是天水的一位已退休的数学特级教师，两年前我读过他在科学出版社出版的《方绎数学》一书，觉得视角很独特，颇受启发，但一直没有时间向孙老师当面讨教。这次专门劳孙老师大驾来北京，参与我们的教研，几次谈话下来，非常受益。孙老师已年过七十，但满面红光，神采奕奕，他对数学教学的深刻理解让我这个数学专业毕业并与科学哲学打了多年交道的人汗颜。孙老师对数学这门学科有一句精准的定义，让我佩服得五体投地，他说数学就是确定一个点在空间中的位置的一门学问。在这里，数学不仅是科学，它也成了人学，人来到这个世界，就如一个点在时间和空间的变幻之中不断的移动，我们是否清楚地知道这个点的位置，这是一辈子的学问。体会到这一点，或许就能体会老子的这么一句话：“知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。知足者富。强行者有志。不失其所者久。死而不亡者寿。”这就是中国人的智慧啊，我现在只有赞叹再赞叹！
下面整理了孙老师的部分谈话录音，与大家分享：
记者：孙老师您好！两年前我们就通过电话，但直到昨天才第一天见面，一见如故。天水是一个宝地，非常高兴能把您请到北京来，得以当面请教，能否先请您讲讲您的故事。
孙老师：我是1963年西北师范大学数学系毕业，服从国家分配，就分到天水地区的西河一中，让我带尖子班，从高一带到高三。但很快“文化大革命”开始了，我们都去到乡下，直到1973年筹办师范学校，我又被调上来，当数学老师，教研组长，后来还当过教导主任、分管教学的副校长，从开始当教师到后来当校长，一直到退休之前我都坚持带课，从来没有离开过课堂。这些年，我一边教学一边潜心研究中小学教育、小学数学教学法，小学怎么学、初中怎么学。也出过书，发表过论文，1999年省教育厅的师范处，认为我很好，认为我在教育方面作出特殊贡献了，所以我虽然年龄大了但是还参加了国家教育部的一个中英教育合作项目，断断续续有十年之久，参与这个项目的有北大、清华、甘肃本地大学的专家，我听取了他们讲的东西，很受启发，特别在2001年到英国考察，看他们的小学教育，他们是怎么搞的。我们回来之后就结合我国的情况编写了一些教材，《中学的数学教学策略》、《小学的数学教学策略》等，由教育部向全国推广。他们认为这个项目投资最巨、时间最长、收获最显著。参加这个项目对我来说受益匪浅，一方面我学到了好多知识，也知道了国内国外的情况，胆子也大了，我生在边远的农村，又在边远的农村教学，接触的人少，这个项目帮我开阔了眼界。
我们改革开放之后教育搞了好几次改革，这个成绩也是很大的，我们不能否认，我们进了一大步，1999年以后搞了一个新课程标准下编的教材，比原来的好多了。现在全国用好几套教材，有的省可以自己编写教材，有些学校也有他们单独的教材，好像真正搞活了。但是尽管这样，我感觉到我们的数学教材还是原封不动，名字变了，以前是代数、几何，现在都叫做数学，以前小学的课本叫算术，现在也叫数学。教材里面的内容包括很多，这是一个改进，但我感觉到编写教材要符合孩子的习惯，要符合孩子的年龄特征，而不是按照原来老的数学的体系，让孩子只能顺着我们老师，顺着我们教材去学。孩子不会，就说孩子不用心，不努力，而不是我编的教材不好，不是我老师讲得不好。我认为这是颠倒，没有教不会的孩子，只有不会教的老师。
现在孩子学习很苦，我对北京的情况不太了解，但也听北京的朋友说，他们害怕自己的孩子学习太苦，都到外国去了。我们农村有一些孩子，觉得学习太苦，干脆不念书了，说如果再让我上学，我就不活了，所以上学很累，很痛苦，我们把一个愉快的东西变成很痛苦了！
我是这么认识“学习”问题的：我们的小孩，我们这一代人，现在活着的这一代人，是过去已经死去的一代代人的继续，若用进化的观点来说，几千年人类文明进化到今天，我们的孩子生下来，他们没有继承前辈的义务，也有发扬光大的义务，每一代人都是承上启下。据说人类在地球上已经进化了几百万年，但是我认为我们绝对不能按照进化的理论来搞学习，一个人在他妈妈肚子里就完成了个人的进化，人生下来都是进化完全的人，他本身就有一个人的基本属性，我们可以称之为是人的本能，这种本能就是学习。所谓教育，就是创造一个合适的环境，帮助孩子去发挥他学习的本能。因此学习不是灌输，而是顺应孩子的习惯，顺应他的本能。一个小孩出生在北京，他就会说北京话，出生在华盛顿，就会说华盛顿话。我们注意到这个小孩学习语言的时候，并没有人给他讲发音规则，也没有学习发音的口型，他还不识，更不知道语法规则，但他说得很准。如果我们对着一条狗，给它天天讲语言，它能学懂吗？人与狗不一样，你教不教他，他都会了，这是我的第一个认识，即学习是一个人的本能。
我对学习的第二个认识：大家普遍认为那些爱听话的、不调皮捣蛋的孩子是好孩子，我的认识恰好相反。贪玩、好动是人的本性，贪玩好动也是我们社会发展的动力，可以这样讲，我们今天的文明社会是那些贪玩好动的人玩出来的。人玩出了奥运会，把全世界的政治首脑都玩进来了。还有人玩枪弄炮，越玩越高级，实际上这些科学家、发明家都是顽童，很调皮，而这些人在我们中国现行的教育体制里早就被开除了，根本就上不了学。我举一个例子，我们天水有一个小孩名字叫“胡至轮”，上小学的时候，特别调皮，上过三个小学之后都没有人要了，他妈妈是一个中学教师，他爸爸是一个国家干部，两个都是大学生，但是他们的小孩没有书念了。最后只能放在家里，爸妈说既然没人要你，你自己学去，你调皮捣蛋没有人管了，结果这个小孩就在家里自己管自己，过了两三年，他又考上中学，也就是初中，他跟得上。念了两年以后，他对家里人说我要上高中，家里人说你连个小学也没上，初中也没有毕业，你怎么上高中呢？简直不可理喻。因为他妈妈是一中老师，说那就让他去试一下，大家都只把他当作一个小孩，比班上同学小三四岁，让他玩，没有人管他，结果上到高二，他要考大学。把家里人气坏了，你给我规规矩矩上完一个学校行不，你总要有一个毕业证。结果他说我非要考，于是就给他报上名，这一试不要紧，结果考取了，按正常录取分680多分，进了中国科技大学。这一下把所有老师和家长惊动了，他父母说我们的孩子确实是一个孩子，不是一块石头，大家都跑来庆贺，才知道这是一个很典型的例子。
我们现在的教育模式，把这样的小孩排除外了，这是很令人痛心的事情。许多孩子在小的时候，灵感就被掐掉了。大家认为小孩没有上学之前，写字写得不好，画画有兴趣，培养了三年上了三年学，变得不愿意画画，字越写越难看，上初中的时候，写的字只有他自己认识，因为图快，一个“人”字，最后写着写着就不像“人”了。这就是我们的现状。我感觉要搞教育改革，那么就应该深层次的从教材里面改，从老师的教学方法里面改。我们要当一个孩子的老师，这个老师应该再当一回孩子，这是我的观点。我们用爱心启迪孩子的心灵，用兴趣去解决题目，而不要用硬梆梆的法则定律去解释，越解释大家越讨厌。学生和教师两张皮，学生不爱老师，就不爱这个老师上课，那么怎么会有兴趣学习呢？
我在研究教材过程中，发现我们的教材中有好多问题。我是搞数学的，数学应当是一种最能表示真理的语言，但是数学教材里面尽管有好多真理，但是人们不知道它是什么样的真理，怎么得来的。比如我在中英项目培训的时候测试我们的老师，这些老师都是甘肃最骨干的教师，其中好多是高中教师，有奥数的指导教师，有高级教师，也有教授，数学专业的本科和博士。我说我考考大家，提前没有准备，给大家每人发一张卷子，请大家答一下。老师们拿到卷子一看说这个简单，没有啥意思，但是越看这个卷子越不好答。这里，我举几个例子，你们感觉一下。
第一道题说我这边有五个红苹果，那边有四个绿苹果，问红苹果比绿苹果多几个？大家哈哈一笑，这还用考我们吗？我就问这五个红苹果里面能减去四个绿苹果吗？大家不吭声了，问题来了，这五个红苹果怎么能去掉四个绿苹果呢，那么我们再问，五条鱼里面能不能去掉四匹马，这个更麻烦，所以大家说不好解答。这是第一道题。
第二道题我问：什么叫做数的绝对值？现在有两种定义，一种是正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。大家认为这个答案百分之百对了，考试是满分，但是我追问一句为什么？问住了，老师们说这是规定，没有办法回答了。还有一种关于绝对值的定义，是从几何上来讲的，数的绝对值代表距离，负三的绝对值就代表负三到原点的距离，那么好，我问负三在原点的数轴的哪一边？他回答说左边，但是数轴上原点左边表示的都是负数，为什么负三的绝对值突然成了正的了。原点左边的每一个点都是负的，但是这些负数的点和原点之间的距离怎么成正的了？这个怪了，所以书本上的两种解释都不能解决绝对值的问题。
第三道题我问了，为什么正乘正为正，负乘负为正，负乘正为负，我问为什么？我们是几千年来一代代先人的后代，我们的先人没有讲清楚，但是我们要想到我们是一万年之后的人类的先人，我们能不能也照样装糊涂呢？我们的先人交给了我们一个糊涂罐子，我们又给我们的娃娃一个罐子去灌糊涂。
最后一道题：你能不能分清减号和负号？老师们说那是一样的，我说好，既然减号和负号是一样的，那么为什么还要分正负，就用加减就行了，为什么要弄出一个正负？大家说不清。这就是说，我们的数学，原来最能表示真理的数学是在老师也讲不清楚的糊涂概念上累积起来的，要么这是对我们数学的自我嘲讽，要么就是给数学加了一个神秘的面纱。这样的数学怎么能教娃娃，怎么能帮助孩子发明创造，老师都搞不清楚，还谈什么发明创造。
我在来北京的火车上碰到一个年轻人，通过聊天他知道我是一个老师，我问他你感觉到数学重要不重要？他说很重要。我说为什么？他说文科理科都要考。那我再问了一下，将来文科理科都不考数学呢？他回答说那就没用处了。以前人们喜欢说，“学好数理化，走遍天下都不怕”，后来变成说“学好数理化，怕怕怕”。学数学，到底能干啥？没有人知道。实际上说在我们每个人身上，都有数学问题，从小学到高中都有。例如，一个人生下来有两只耳朵两个眼睛，这个从生下来到人去世是不变的，这就是常量，永远是这样的。人的骨头一辈子也不增加一块不减少一块（除非意外事故），这是不是一个常量问题？还有咱们的身高，随着时间推移个子越来越高，这是一个变量，这是不是一个函数问题？个子高到一定的程度，人长到二十五岁以后不长了，开始横向发展，不往高长了，这是不是数学问题？还有范围问题。比如我们的血压，低压多少，高压多少，有一个范围，体温也有一个范围，太高了太低了都不行。去医院体检，我们的血液化验各种指标都在一个范围之内，这个范围就是数学。我们身上的数学问题还有很多，比如系扣子，这就是一个一一对应关系。所以说数学离不开我的身体，我离不开数学，数学和我成为一体，那你数学还不会？你数学还不需要？
人活一辈子不能丢失我自己，就不能丢失数学。我们说提高中华民族素质，这里面就应该包括数学素质在里面。没有数学素质的提高，那么中华民族的素质就不能提高。我们现在把数学的研究和应用，退化成了数学课，再从数学课再退化成考试卷，考试卷退化成分数等级，把很有意义的数学教育弄成一个没有意义了。所以才有火车上的那段对话，因为考大学文科理科都要考数学，所以没办法只好硬着头皮学数学。我觉得应该从根子上改，数学改了，物理化学都跟着改，我们小学改了，上面中学、大学随着就改了。我们的孩子就是人类的未来，当这些小孩的创造力不丧失，他们当了大学教授，自然就把大学教育改掉了。咱们现在所有的科学知识都是通过几百年、几千年的积累，但是我们教孩子的时候，不能够按原来的轨迹走。我们总结出一种教育的方式，把复杂的问题变简单，把抽象的问题变具体，把无序变成有规律，这就是我们教育科学的责任。科学的发展有它的走向，而科学教育是一个反方向的行事，我们现在编教材的时候都是按照科学家发明的程序，按照专家的思维来编的，没有根据孩子的身心发展特点来编。
小孩要从小让他在玩中学习，但不是任意的胡玩，不是伤害儿童心灵的玩，而是玩出科学、玩出智慧来，玩出他的敏感，这是我的想法。孩子长大成人，是要进入社会的，得到社会的认可，所以我们不要怕比较。我们培养的这些小孩，以后也不要怕考试，别人可以考一百分，我们的孩子可以考一百五十分，什么意思？就是学有余力，这些孩子可以轻松地面对考试，会考试这不是最重要的，更重要的是他们具备发散性思维。一个问题，别人用一种或两种方法去解决，我们培养出来的孩子可以用八种、十种方法去解决，这就是我想的。我把我研究的这些东西概括成为“方绎数学”。
下面，我来把方绎数学展示一下，看大家会不会产生兴趣。大家看一下，这是一个什么？
（在座者回答，是花。）
好，花是具体的形象，不会成为其他东西，就是一个花。再看看这张卡片的反面，这是什么？
（在座者回答，空白，什么都没有。）
对，这面什么也没有，我是这么设计的，这就叫抽象，把象抽掉了。但是留下一个方格，现在我把方格留在你们的思想里，我再把手背过去，当我再展示时，你猜这方格里会出现什么？
（在座者回答，可能是花，也可以是什么都没有。）
我给大家看，这是什么？
（在座者回答，是一个小孩。）
哈哈，出现了一个小孩，当我再把手背过去，你猜接下去会发生什么？
（在座者回答，这就不好猜了，可能是花，可能是空白，也可能是别的什么东西。）
好，这是一个蝴蝶。大家静心想象对面到底是一个什么，可能是一个小孩，可能是一个蝴蝶，可能还是其他的东西。——这就是想象，我们刚才整个完成的过程就是联想，这个过程把我们数学里面的概念都包括在里面了。数学就是高度抽象，首先有一个具体形象，然后是对具体形象的抽象。没有抽象，就不可能有后面的想象。我们要的是想象和联想，而不只是具体形象，数学就是在这几个概念里面翻转。为了说明这个过程，我想了很多办法，剪刀、卡片不离手，天天做手工。现在这个办法叫开窗式。如果只是花，和背面的空白，孩子猜了几回就没有兴趣了。但突然一变，他就产生兴趣了，让他感觉有意想不到的东西出现，他就产生好奇了，这就叫做从兴趣入手。
我曾经问一位专门研究语言文字的老师，我问他你是不是什么字都会，他说你有什么问题吗。我说他既然你什么字都认识，我就问你为什么“好”这个字是一个“女”和“子”放在一起就叫做“好”呢？他说这个我没有研究过。我说我倒是略有研究。这是一个太极图。
关于太极图好些人有各种各样的解释，而我是这么解释的。我们的先人伏羲发明这个太极图的时候，已经有一个高度抽象思维，那就是万事万物我们都可以用一个点来表示，这个点实际上就是一个圆，这个圆就代表万事万物。从宇宙到地球上任何东西都可以用圆表示，这个圆里有红鱼有黑鱼，第一层意思是说这个万事万物都存在阴阳，第二意思是阴阳是平衡的，也就是和谐的，如果阴阳不平衡，就产生问题。为什么说万事万物都是圆的呢？关于圆，我们可以有不同的解释，比如圆滑。但是不管怎么解释，我们要看到这个圆产生了一个变动的意思，圆就意味着变动，轮子是圆的就可以转动，这个可以转动的圆就是一个太极。现在我们把它变成方的，变成一个长方形，一边是红的一边是黑的。你看，这右边是红的，这左边是黑的。若用正负来表示，红色的可表示正，黑色的表示负。“女”是阴，“男”（“子”）是阳，阴阳放在一起是什么字——“好”字。所以“好”字就是一个太极图，就代表阴阳。一家两口子，男女之间不打架、和和美美的就说明着平衡着呢，一个人如果阳气太盛，容易打架骂人，阳气太盛，如果一个人一天光睡觉不动弹，这是阴气太盛，只有阴阳平衡了，该动的动，该静的静，那就好了。中医诊断，望闻问切，关心的表里沉浮，寒热虚实。都是阴阳关系。
阴阳是我们中华文化和中华文明的总根源。为什么我们中国人把任何一个事物都叫“东西”，一个事物不知道名字，我们会问这是一个什么东西。为什么叫东西？东西就是阴阳。方绎数学，其最根本的根源就是伏羲发明的阴阳太极，阴就是负，阳就是正，这很简单。阴阳包括的意义很广，还不能光从正负讲。数轴就是一维空间，而在平面上画一个坐标，就是显示二维空间。二维空间里有加减，还有乘除运算。在一维空间，用一个数去标值，而二维数则由两个数表示，三维由三个数表示，由一个数表示是单数，由两个数表示是复数，你说简单不简单？太简单了，用得着那么复杂地去讲吗？
在一维空间，负正为阴阳；二维空间里，乘除正负都有阴阳，乘为阳，除为阴，正正、负负、负正、正负，这四个相互就是阴阳四卦；再添一个维度，就构成了八个区域，阴阳八卦就是三维空间的八个区域分布。所以说用阴阳直接就和数学统一了，这样研究的时候没有规律的变得就有规律了，不能运算变得能运算了。
过去我们说的加减乘除，数学里称之为四则基本运算。例如加法，我们以前上学的时候说“3+2”要读成“三加上二”；“3-2”要读成“三减去二”，3是被减数，2是减数；“3×2”要读成“三乘以二”，3是被乘数，2是乘数；“4÷2”要读成“四除以二”，4是被除数，2是除数。这么搞了几十年，大家觉得很麻烦，老师、孩子都搞得晕乎乎的，后来就改了，现在数学课本里，不分被乘数、乘数，都叫做因数，就把这个问题掩盖了。但是“4÷2”，4叫被除数，“四除以二”，加一个“以”字，或读成“二除四”，“除”和“除以”又有不同，大家又不知道怎么办了。
如果用阴阳运算来理解，就简单了。例如“4÷2”，根本不用说4是除数还是被除数，牵涉不到这个问题。我们先说“正2”、“负2”，“正2”是阳数，“负2”是阴数，这两个阴阳数放在一起就产生一个新数就是0了，就好像正电子负电子碰在一起，火花一闪就没有了。我们再继续举例，一个卵子加一个精子生成一个受精卵，受精卵既不是卵子也不是精子，而是生出了一个新的东西，“乘2”是阳数，“除2”是阴数，这两个数放在一起就生出一个“1”，可读作“乘二除二等于一”，这就是产生了一个新的受精卵。我们以前习惯说“男加女”就是夫妻，实际上“男女”在一起就是夫妻了，为什么中间还要放一个加号呢？我再问，如果存在“男加女”，那么“男减女”是什么？就像前面说过的，五条鱼里面能不能去掉四匹马？
说得好，这张牌上有两个圆点，颜色是红色，这里有一个数字2，这个2也是红色的。好，现在我把牌翻过来。这一面，也有两个点，黑色的，这个2也是黑色的。还有哪位同学没看清楚吗？
（在座者回答，都看清楚了。）
太好了，你们真聪明，现在老师规定了，红的这面我叫它正面，黑的这面就叫负面或者背面。你们记下了吗？
（在座者回答，记下来了。）
真棒！（孙老师举出红色的一面），请问这是哪一面？
（在座者回答，正面。）
（孙老师又举出黑色的一面），请问这是哪一面？
（在座者回答，负面。）
好聪明，孩子们真聪明！下面老师再规定正面的这个2，我叫它“正2”，那么负面的这个2，我们也给它取个名字，叫“负2”。好，大家都会念它的名字了吧？好，很聪明。我这里还有一张牌，是什么颜色啊？（红色），上面有几个圆点，写了什么数字啊？（9），那么我们把红颜色和9放在一起，念什么呀？（正9）太好了，我把背面的这个颜色和数字放在一起，念什么呀？（负9）好！我再来考考大家，能不能很快的说出来。就是这样，顺着儿童，让他很高高兴兴的，什么是正，什么是负，一分钟就会了。会了就下课，让孩子们高高兴兴的去玩，明天再接着来，保持孩子对学习饱满的积极性。
记者：的确，我们的数学教科书中，以及我们既有的数学思维里，有不少似是而非的概念，正如您刚才提到的绝对值，四则运算符号背后的意义等。能不能请您再说说有理数和无理数？
孙老师：有理数和无理数是数学中的一种分类方法，它把有限数和无限循环小数称之为有理数，把无限不循环小数称之为无理数，但是这个分法我认为不是很科学。我们直接从阴阳来分类就可以了，这是中国人特有的方形思维，由阴阳产生一个“方”，由“方”产生一个方型思维，这个方型思维包括四个部分：一是方形；二是方向；三是方位；四是方法。“方”从一维、二维到N维都存在。在一维空间说的“方”就是一个线段，有两个点的线段这就是一个“方”；在二维空间里就是长方形，包括正方形。但是这个方形里面我们说单位的时候，二维空间最基本的是正方形。三维空间最基本的是正方体。
至于方向，在一维空间就是左右方向，在二维空间就是左右上下，也就是东南西北四个方向，以及由这四个方向延伸出平面的各种方向。三维空间的方向至今还没有研究，所以复数只是二维空间的复数，三维就是多复数了，这个还没有人开始研究。也就是说人类的数学还停留在二维空间的数学，三维空间里还有好多都是空白。
我们用到了方形、方向，就可以确定方位，所以，我认为我们的数学最重要的任务是干什么呢？就是确定一个点在空间中的位置，这是数学研究最基本的定义。目前对于数学，还没有一个统一的标准的定义，一般而言，称数学是研究数量关系和空间形态的一门科学。而我给出的定义，就是在空间中确定一个点的位置的学问，我称之为数学。我们现在熟悉的数学这门学科是西方人的发明和创造，但我们可以用中国人的思维方式去把握它，把复杂的问题变得简单。阴阳的思维观念是中国文化特有的，以前似乎它只用来算命、看风水，现在它也可以进入到数学和科学领域，只有这样，中国文化的生命力才真正激发出来了。这需要我们大家一起来努力，一起来“想方设法”。
记者：谢谢您的分享。下面我们还会邀约一些家长和老师，与您座谈，若八月份安排得过来，还想请您直接培训我们的几位想当老师的家长，所以还要辛苦您！
孙老师：不客气，我很高兴我的这些东西能对你和你的朋友有所帮助。
(END)
【编者按】
经过两年的小学教学实践，发现有些硬问题是需要去面对的，教学仅凭美好的愿望和满腔热情，或者仅凭国外专家的意见，是远远不够的。我们必须承认，教育本身是一门学科。故近期准备邀约一些有丰富教育经验和独特心得的老师和朋友，来展开一系列的教学研讨活动，有兴趣的朋友欢迎参与。
孙老师，是天水的一位已退休的数学特级教师，两年前我读过他在科学出版社出版的《方绎数学》一书，觉得视角很独特，颇受启发，但一直没有时间向孙老师当面讨教。这次专门劳孙老师大驾来北京，参与我们的教研，几次谈话下来，非常受益。孙老师已年过七十，但满面红光，神采奕奕，他对数学教学的深刻理解让我这个数学专业毕业并与科学哲学打了多年交道的人汗颜。孙老师对数学这门学科有一句精准的定义，让我佩服得五体投地，他说数学就是确定一个点在空间中的位置的一门学问。在这里，数学不仅是科学，它也成了人学，人来到这个世界，就如一个点在时间和空间的变幻之中不断的移动，我们是否清楚地知道这个点的位置，这是一辈子的学问。体会到这一点，或许就能体会老子的这么一句话：“知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。知足者富。强行者有志。不失其所者久。死而不亡者寿。”这就是中国人的智慧啊，我现在只有赞叹再赞叹！
下面整理了孙老师的部分谈话录音，与大家分享：
记者：孙老师您好！两年前我们就通过电话，但直到昨天才第一天见面，一见如故。天水是一个宝地，非常高兴能把您请到北京来，得以当面请教，能否先请您讲讲您的故事。
孙老师：我是1963年西北师范大学数学系毕业，服从国家分配，就分到天水地区的西河一中，让我带尖子班，从高一带到高三。但很快“文化大革命”开始了，我们都去到乡下，直到1973年筹办师范学校，我又被调上来，当数学老师，教研组长，后来还当过教导主任、分管教学的副校长，从开始当教师到后来当校长，一直到退休之前我都坚持带课，从来没有离开过课堂。这些年，我一边教学一边潜心研究中小学教育、小学数学教学法，小学怎么学、初中怎么学。也出过书，发表过论文，1999年省教育厅的师范处，认为我很好，认为我在教育方面作出特殊贡献了，所以我虽然年龄大了但是还参加了国家教育部的一个中英教育合作项目，断断续续有十年之久，参与这个项目的有北大、清华、甘肃本地大学的专家，我听取了他们讲的东西，很受启发，特别在2001年到英国考察，看他们的小学教育，他们是怎么搞的。我们回来之后就结合我国的情况编写了一些教材，《中学的数学教学策略》、《小学的数学教学策略》等，由教育部向全国推广。他们认为这个项目投资最巨、时间最长、收获最显著。参加这个项目对我来说受益匪浅，一方面我学到了好多知识，也知道了国内国外的情况，胆子也大了，我生在边远的农村，又在边远的农村教学，接触的人少，这个项目帮我开阔了眼界。
我们改革开放之后教育搞了好几次改革，这个成绩也是很大的，我们不能否认，我们进了一大步，1999年以后搞了一个新课程标准下编的教材，比原来的好多了。现在全国用好几套教材，有的省可以自己编写教材，有些学校也有他们单独的教材，好像真正搞活了。但是尽管这样，我感觉到我们的数学教材还是原封不动，名字变了，以前是代数、几何，现在都叫做数学，以前小学的课本叫算术，现在也叫数学。教材里面的内容包括很多，这是一个改进，但我感觉到编写教材要符合孩子的习惯，要符合孩子的年龄特征，而不是按照原来老的数学的体系，让孩子只能顺着我们老师，顺着我们教材去学。孩子不会，就说孩子不用心，不努力，而不是我编的教材不好，不是我老师讲得不好。我认为这是颠倒，没有教不会的孩子，只有不会教的老师。
现在孩子学习很苦，我对北京的情况不太了解，但也听北京的朋友说，他们害怕自己的孩子学习太苦，都到外国去了。我们农村有一些孩子，觉得学习太苦，干脆不念书了，说如果再让我上学，我就不活了，所以上学很累，很痛苦，我们把一个愉快的东西变成很痛苦了！
我是这么认识“学习”问题的：我们的小孩，我们这一代人，现在活着的这一代人，是过去已经死去的一代代人的继续，若用进化的观点来说，几千年人类文明进化到今天，我们的孩子生下来，他们没有继承前辈的义务，也有发扬光大的义务，每一代人都是承上启下。据说人类在地球上已经进化了几百万年，但是我认为我们绝对不能按照进化的理论来搞学习，一个人在他妈妈肚子里就完成了个人的进化，人生下来都是进化完全的人，他本身就有一个人的基本属性，我们可以称之为是人的本能，这种本能就是学习。所谓教育，就是创造一个合适的环境，帮助孩子去发挥他学习的本能。因此学习不是灌输，而是顺应孩子的习惯，顺应他的本能。一个小孩出生在北京，他就会说北京话，出生在华盛顿，就会说华盛顿话。我们注意到这个小孩学习语言的时候，并没有人给他讲发音规则，也没有学习发音的口型，他还不识，更不知道语法规则，但他说得很准。如果我们对着一条狗，给它天天讲语言，它能学懂吗？人与狗不一样，你教不教他，他都会了，这是我的第一个认识，即学习是一个人的本能。
我对学习的第二个认识：大家普遍认为那些爱听话的、不调皮捣蛋的孩子是好孩子，我的认识恰好相反。贪玩、好动是人的本性，贪玩好动也是我们社会发展的动力，可以这样讲，我们今天的文明社会是那些贪玩好动的人玩出来的。人玩出了奥运会，把全世界的政治首脑都玩进来了。还有人玩枪弄炮，越玩越高级，实际上这些科学家、发明家都是顽童，很调皮，而这些人在我们中国现行的教育体制里早就被开除了，根本就上不了学。我举一个例子，我们天水有一个小孩名字叫“胡至轮”，上小学的时候，特别调皮，上过三个小学之后都没有人要了，他妈妈是一个中学教师，他爸爸是一个国家干部，两个都是大学生，但是他们的小孩没有书念了。最后只能放在家里，爸妈说既然没人要你，你自己学去，你调皮捣蛋没有人管了，结果这个小孩就在家里自己管自己，过了两三年，他又考上中学，也就是初中，他跟得上。念了两年以后，他对家里人说我要上高中，家里人说你连个小学也没上，初中也没有毕业，你怎么上高中呢？简直不可理喻。因为他妈妈是一中老师，说那就让他去试一下，大家都只把他当作一个小孩，比班上同学小三四岁，让他玩，没有人管他，结果上到高二，他要考大学。把家里人气坏了，你给我规规矩矩上完一个学校行不，你总要有一个毕业证。结果他说我非要考，于是就给他报上名，这一试不要紧，结果考取了，按正常录取分680多分，进了中国科技大学。这一下把所有老师和家长惊动了，他父母说我们的孩子确实是一个孩子，不是一块石头，大家都跑来庆贺，才知道这是一个很典型的例子。
我们现在的教育模式，把这样的小孩排除外了，这是很令人痛心的事情。许多孩子在小的时候，灵感就被掐掉了。大家认为小孩没有上学之前，写字写得不好，画画有兴趣，培养了三年上了三年学，变得不愿意画画，字越写越难看，上初中的时候，写的字只有他自己认识，因为图快，一个“人”字，最后写着写着就不像“人”了。这就是我们的现状。我感觉要搞教育改革，那么就应该深层次的从教材里面改，从老师的教学方法里面改。我们要当一个孩子的老师，这个老师应该再当一回孩子，这是我的观点。我们用爱心启迪孩子的心灵，用兴趣去解决题目，而不要用硬梆梆的法则定律去解释，越解释大家越讨厌。学生和教师两张皮，学生不爱老师，就不爱这个老师上课，那么怎么会有兴趣学习呢？
我在研究教材过程中，发现我们的教材中有好多问题。我是搞数学的，数学应当是一种最能表示真理的语言，但是数学教材里面尽管有好多真理，但是人们不知道它是什么样的真理，怎么得来的。比如我在中英项目培训的时候测试我们的老师，这些老师都是甘肃最骨干的教师，其中好多是高中教师，有奥数的指导教师，有高级教师，也有教授，数学专业的本科和博士。我说我考考大家，提前没有准备，给大家每人发一张卷子，请大家答一下。老师们拿到卷子一看说这个简单，没有啥意思，但是越看这个卷子越不好答。这里，我举几个例子，你们感觉一下。
第一道题说我这边有五个红苹果，那边有四个绿苹果，问红苹果比绿苹果多几个？大家哈哈一笑，这还用考我们吗？我就问这五个红苹果里面能减去四个绿苹果吗？大家不吭声了，问题来了，这五个红苹果怎么能去掉四个绿苹果呢，那么我们再问，五条鱼里面能不能去掉四匹马，这个更麻烦，所以大家说不好解答。这是第一道题。
第二道题我问：什么叫做数的绝对值？现在有两种定义，一种是正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。大家认为这个答案百分之百对了，考试是满分，但是我追问一句为什么？问住了，老师们说这是规定，没有办法回答了。还有一种关于绝对值的定义，是从几何上来讲的，数的绝对值代表距离，负三的绝对值就代表负三到原点的距离，那么好，我问负三在原点的数轴的哪一边？他回答说左边，但是数轴上原点左边表示的都是负数，为什么负三的绝对值突然成了正的了。原点左边的每一个点都是负的，但是这些负数的点和原点之间的距离怎么成正的了？这个怪了，所以书本上的两种解释都不能解决绝对值的问题。
第三道题我问了，为什么正乘正为正，负乘负为正，负乘正为负，我问为什么？我们是几千年来一代代先人的后代，我们的先人没有讲清楚，但是我们要想到我们是一万年之后的人类的先人，我们能不能也照样装糊涂呢？我们的先人交给了我们一个糊涂罐子，我们又给我们的娃娃一个罐子去灌糊涂。
最后一道题：你能不能分清减号和负号？老师们说那是一样的，我说好，既然减号和负号是一样的，那么为什么还要分正负，就用加减就行了，为什么要弄出一个正负？大家说不清。这就是说，我们的数学，原来最能表示真理的数学是在老师也讲不清楚的糊涂概念上累积起来的，要么这是对我们数学的自我嘲讽，要么就是给数学加了一个神秘的面纱。这样的数学怎么能教娃娃，怎么能帮助孩子发明创造，老师都搞不清楚，还谈什么发明创造。
我在来北京的火车上碰到一个年轻人，通过聊天他知道我是一个老师，我问他你感觉到数学重要不重要？他说很重要。我说为什么？他说文科理科都要考。那我再问了一下，将来文科理科都不考数学呢？他回答说那就没用处了。以前人们喜欢说，“学好数理化，走遍天下都不怕”，后来变成说“学好数理化，怕怕怕”。学数学，到底能干啥？没有人知道。实际上说在我们每个人身上，都有数学问题，从小学到高中都有。例如，一个人生下来有两只耳朵两个眼睛，这个从生下来到人去世是不变的，这就是常量，永远是这样的。人的骨头一辈子也不增加一块不减少一块（除非意外事故），这是不是一个常量问题？还有咱们的身高，随着时间推移个子越来越高，这是一个变量，这是不是一个函数问题？个子高到一定的程度，人长到二十五岁以后不长了，开始横向发展，不往高长了，这是不是数学问题？还有范围问题。比如我们的血压，低压多少，高压多少，有一个范围，体温也有一个范围，太高了太低了都不行。去医院体检，我们的血液化验各种指标都在一个范围之内，这个范围就是数学。我们身上的数学问题还有很多，比如系扣子，这就是一个一一对应关系。所以说数学离不开我的身体，我离不开数学，数学和我成为一体，那你数学还不会？你数学还不需要？
人活一辈子不能丢失我自己，就不能丢失数学。我们说提高中华民族素质，这里面就应该包括数学素质在里面。没有数学素质的提高，那么中华民族的素质就不能提高。我们现在把数学的研究和应用，退化成了数学课，再从数学课再退化成考试卷，考试卷退化成分数等级，把很有意义的数学教育弄成一个没有意义了。所以才有火车上的那段对话，因为考大学文科理科都要考数学，所以没办法只好硬着头皮学数学。我觉得应该从根子上改，数学改了，物理化学都跟着改，我们小学改了，上面中学、大学随着就改了。我们的孩子就是人类的未来，当这些小孩的创造力不丧失，他们当了大学教授，自然就把大学教育改掉了。咱们现在所有的科学知识都是通过几百年、几千年的积累，但是我们教孩子的时候，不能够按原来的轨迹走。我们总结出一种教育的方式，把复杂的问题变简单，把抽象的问题变具体，把无序变成有规律，这就是我们教育科学的责任。科学的发展有它的走向，而科学教育是一个反方向的行事，我们现在编教材的时候都是按照科学家发明的程序，按照专家的思维来编的，没有根据孩子的身心发展特点来编。
小孩要从小让他在玩中学习，但不是任意的胡玩，不是伤害儿童心灵的玩，而是玩出科学、玩出智慧来，玩出他的敏感，这是我的想法。孩子长大成人，是要进入社会的，得到社会的认可，所以我们不要怕比较。我们培养的这些小孩，以后也不要怕考试，别人可以考一百分，我们的孩子可以考一百五十分，什么意思？就是学有余力，这些孩子可以轻松地面对考试，会考试这不是最重要的，更重要的是他们具备发散性思维。一个问题，别人用一种或两种方法去解决，我们培养出来的孩子可以用八种、十种方法去解决，这就是我想的。我把我研究的这些东西概括成为“方绎数学”。
下面，我来把方绎数学展示一下，看大家会不会产生兴趣。大家看一下，这是一个什么？
（在座者回答，是花。）
好，花是具体的形象，不会成为其他东西，就是一个花。再看看这张卡片的反面，这是什么？
（在座者回答，空白，什么都没有。）
对，这面什么也没有，我是这么设计的，这就叫抽象，把象抽掉了。但是留下一个方格，现在我把方格留在你们的思想里，我再把手背过去，当我再展示时，你猜这方格里会出现什么？
（在座者回答，可能是花，也可以是什么都没有。）
我给大家看，这是什么？
（在座者回答，是一个小孩。）
哈哈，出现了一个小孩，当我再把手背过去，你猜接下去会发生什么？
（在座者回答，这就不好猜了，可能是花，可能是空白，也可能是别的什么东西。）
好，这是一个蝴蝶。大家静心想象对面到底是一个什么，可能是一个小孩，可能是一个蝴蝶，可能还是其他的东西。——这就是想象，我们刚才整个完成的过程就是联想，这个过程把我们数学里面的概念都包括在里面了。数学就是高度抽象，首先有一个具体形象，然后是对具体形象的抽象。没有抽象，就不可能有后面的想象。我们要的是想象和联想，而不只是具体形象，数学就是在这几个概念里面翻转。为了说明这个过程，我想了很多办法，剪刀、卡片不离手，天天做手工。现在这个办法叫开窗式。如果只是花，和背面的空白，孩子猜了几回就没有兴趣了。但突然一变，他就产生兴趣了，让他感觉有意想不到的东西出现，他就产生好奇了，这就叫做从兴趣入手。
我曾经问一位专门研究语言文字的老师，我问他你是不是什么字都会，他说你有什么问题吗。我说他既然你什么字都认识，我就问你为什么“好”这个字是一个“女”和“子”放在一起就叫做“好”呢？他说这个我没有研究过。我说我倒是略有研究。这是一个太极图。
关于太极图好些人有各种各样的解释，而我是这么解释的。我们的先人伏羲发明这个太极图的时候，已经有一个高度抽象思维，那就是万事万物我们都可以用一个点来表示，这个点实际上就是一个圆，这个圆就代表万事万物。从宇宙到地球上任何东西都可以用圆表示，这个圆里有红鱼有黑鱼，第一层意思是说这个万事万物都存在阴阳，第二意思是阴阳是平衡的，也就是和谐的，如果阴阳不平衡，就产生问题。为什么说万事万物都是圆的呢？关于圆，我们可以有不同的解释，比如圆滑。但是不管怎么解释，我们要看到这个圆产生了一个变动的意思，圆就意味着变动，轮子是圆的就可以转动，这个可以转动的圆就是一个太极。现在我们把它变成方的，变成一个长方形，一边是红的一边是黑的。你看，这右边是红的，这左边是黑的。若用正负来表示，红色的可表示正，黑色的表示负。“女”是阴，“男”（“子”）是阳，阴阳放在一起是什么字——“好”字。所以“好”字就是一个太极图，就代表阴阳。一家两口子，男女之间不打架、和和美美的就说明着平衡着呢，一个人如果阳气太盛，容易打架骂人，阳气太盛，如果一个人一天光睡觉不动弹，这是阴气太盛，只有阴阳平衡了，该动的动，该静的静，那就好了。中医诊断，望闻问切，关心的表里沉浮，寒热虚实。都是阴阳关系。
阴阳是我们中华文化和中华文明的总根源。为什么我们中国人把任何一个事物都叫“东西”，一个事物不知道名字，我们会问这是一个什么东西。为什么叫东西？东西就是阴阳。方绎数学，其最根本的根源就是伏羲发明的阴阳太极，阴就是负，阳就是正，这很简单。阴阳包括的意义很广，还不能光从正负讲。数轴就是一维空间，而在平面上画一个坐标，就是显示二维空间。二维空间里有加减，还有乘除运算。在一维空间，用一个数去标值，而二维数则由两个数表示，三维由三个数表示，由一个数表示是单数，由两个数表示是复数，你说简单不简单？太简单了，用得着那么复杂地去讲吗？
在一维空间，负正为阴阳；二维空间里，乘除正负都有阴阳，乘为阳，除为阴，正正、负负、负正、正负，这四个相互就是阴阳四卦；再添一个维度，就构成了八个区域，阴阳八卦就是三维空间的八个区域分布。所以说用阴阳直接就和数学统一了，这样研究的时候没有规律的变得就有规律了，不能运算变得能运算了。
过去我们说的加减乘除，数学里称之为四则基本运算。例如加法，我们以前上学的时候说“3+2”要读成“三加上二”；“3-2”要读成“三减去二”，3是被减数，2是减数；“3×2”要读成“三乘以二”，3是被乘数，2是乘数；“4÷2”要读成“四除以二”，4是被除数，2是除数。这么搞了几十年，大家觉得很麻烦，老师、孩子都搞得晕乎乎的，后来就改了，现在数学课本里，不分被乘数、乘数，都叫做因数，就把这个问题掩盖了。但是“4÷2”，4叫被除数，“四除以二”，加一个“以”字，或读成“二除四”，“除”和“除以”又有不同，大家又不知道怎么办了。
如果用阴阳运算来理解，就简单了。例如“4÷2”，根本不用说4是除数还是被除数，牵涉不到这个问题。我们先说“正2”、“负2”，“正2”是阳数，“负2”是阴数，这两个阴阳数放在一起就产生一个新数就是0了，就好像正电子负电子碰在一起，火花一闪就没有了。我们再继续举例，一个卵子加一个精子生成一个受精卵，受精卵既不是卵子也不是精子，而是生出了一个新的东西，“乘2”是阳数，“除2”是阴数，这两个数放在一起就生出一个“1”，可读作“乘二除二等于一”，这就是产生了一个新的受精卵。我们以前习惯说“男加女”就是夫妻，实际上“男女”在一起就是夫妻了，为什么中间还要放一个加号呢？我再问，如果存在“男加女”，那么“男减女”是什么？就像前面说过的，五条鱼里面能不能去掉四匹马？
说得好，这张牌上有两个圆点，颜色是红色，这里有一个数字2，这个2也是红色的。好，现在我把牌翻过来。这一面，也有两个点，黑色的，这个2也是黑色的。还有哪位同学没看清楚吗？
（在座者回答，都看清楚了。）
太好了，你们真聪明，现在老师规定了，红的这面我叫它正面，黑的这面就叫负面或者背面。你们记下了吗？
（在座者回答，记下来了。）
真棒！（孙老师举出红色的一面），请问这是哪一面？
（在座者回答，正面。）
（孙老师又举出黑色的一面），请问这是哪一面？
（在座者回答，负面。）
好聪明，孩子们真聪明！下面老师再规定正面的这个2，我叫它“正2”，那么负面的这个2，我们也给它取个名字，叫“负2”。好，大家都会念它的名字了吧？好，很聪明。我这里还有一张牌，是什么颜色啊？（红色），上面有几个圆点，写了什么数字啊？（9），那么我们把红颜色和9放在一起，念什么呀？（正9）太好了，我把背面的这个颜色和数字放在一起，念什么呀？（负9）好！我再来考考大家，能不能很快的说出来。就是这样，顺着儿童，让他很高高兴兴的，什么是正，什么是负，一分钟就会了。会了就下课，让孩子们高高兴兴的去玩，明天再接着来，保持孩子对学习饱满的积极性。
记者：的确，我们的数学教科书中，以及我们既有的数学思维里，有不少似是而非的概念，正如您刚才提到的绝对值，四则运算符号背后的意义等。能不能请您再说说有理数和无理数？
孙老师：有理数和无理数是数学中的一种分类方法，它把有限数和无限循环小数称之为有理数，把无限不循环小数称之为无理数，但是这个分法我认为不是很科学。我们直接从阴阳来分类就可以了，这是中国人特有的方形思维，由阴阳产生一个“方”，由“方”产生一个方型思维，这个方型思维包括四个部分：一是方形；二是方向；三是方位；四是方法。“方”从一维、二维到N维都存在。在一维空间说的“方”就是一个线段，有两个点的线段这就是一个“方”；在二维空间里就是长方形，包括正方形。但是这个方形里面我们说单位的时候，二维空间最基本的是正方形。三维空间最基本的是正方体。
至于方向，在一维空间就是左右方向，在二维空间就是左右上下，也就是东南西北四个方向，以及由这四个方向延伸出平面的各种方向。三维空间的方向至今还没有研究，所以复数只是二维空间的复数，三维就是多复数了，这个还没有人开始研究。也就是说人类的数学还停留在二维空间的数学，三维空间里还有好多都是空白。
我们用到了方形、方向，就可以确定方位，所以，我认为我们的数学最重要的任务是干什么呢？就是确定一个点在空间中的位置，这是数学研究最基本的定义。目前对于数学，还没有一个统一的标准的定义，一般而言，称数学是研究数量关系和空间形态的一门科学。而我给出的定义，就是在空间中确定一个点的位置的学问，我称之为数学。我们现在熟悉的数学这门学科是西方人的发明和创造，但我们可以用中国人的思维方式去把握它，把复杂的问题变得简单。阴阳的思维观念是中国文化特有的，以前似乎它只用来算命、看风水，现在它也可以进入到数学和科学领域，只有这样，中国文化的生命力才真正激发出来了。这需要我们大家一起来努力，一起来“想方设法”。
记者：谢谢您的分享。下面我们还会邀约一些家长和老师，与您座谈，若八月份安排得过来，还想请您直接培训我们的几位想当老师的家长，所以还要辛苦您！
孙老师：不客气，我很高兴我的这些东西能对你和你的朋友有所帮助。
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数学作为文化的重要组成部分，对提高人的整体素质有着极为重要的作用。下面我从两个方面浅谈一下如何教好小学数学：
一、 浅谈小学数学教学中良好学习习惯的培养。
小学数学大纲把“培养学生良好的学习习惯”作为素质教育的一个重要方面。俄国教育家乌申斯基说过：“良好的习惯是人在他的神经系统中所储存的资本。这个资本不断增值，而人在其整个一生中，就享受着它的利息。”这足可以说明，小学生良好的学习习惯，对他今后的发展将起着重要作用。因此，在小学阶段培养学生良好的数学学习习惯，是每一位数学教师的重要职责。
（一）、培养学生认真阅读数学课本的习惯在小学数学教学中，应注意训练学生阅读数学课本的习惯，使学生具备阅读课本的能力。在数学课中，应使学生把“看、读、思、练”结合起来。从儿童一入学就应该带领学生逐步学会看懂图、式、文，再引导学生弄清术语，理解关键词语，引发学生思考。随着学生年龄和抽象能力的不断提高，对课本内容提出更明确而具体的要求，让学生养成先阅读后做作业的习惯。
（二）、培养学生认真审题的习惯审题是进行正确计算不可缺少的环节。通过审题训练，可以养成学生认真严谨的习惯，引导学生灵活地选择正确合理的计算方法，提高做题的质量与速度。1、作题时，首先学生应读懂题目要求，正确理解题意。这就需要教师在平时注意培养学生读题、理解题的能力，明确题目中究竟要我们做什么、怎么做，然后再进行计算。2、教会学生观察题型，正确运用定律、性质，使计算简便。3、审题要始终贯穿整个解题过程，既要看全题，又要看运算过程出现的新数字、新情况，做到方法得当。正确的审题能够保证正确、迅速的解题，所以培养学生养成良好的审题习惯是非常重要的。
（三）、培养学生勤于动脑，善于思考的习惯学生学习数学这一活动，归根到底是思维的活动，只有勤于动脑，肯于思考，才能理解和掌握数学知识，形成各种数学能力。教师首先要注意激发学生的思考欲望，善于提出启发学生思考的问题，形成学生发现问题、提出问题的良好品质；其次要注意提供适量的思考依据，培养学生有根据、有条理、有序的进行思考的习惯；多角度地寻求解决问题的方法，促使思维水平的逐步提高。
（四）、培养学生认真独立的完成作业和自觉检查的习惯学生的作业反映了学生的学习态度和学习习惯。良好的作业习惯包括：态度认真、及时检查验算、书写工整、独立完成、富有创见等。从学生刚一入校的那天起，就要培养正确的书写姿势，要求书写工整、格式规范。从数字至数的书写、从一位数到多位数、从整数到小数、分数的书写，都要严格要求。独立完成作业是发挥作业应有作用的切实保证，要经常表扬那些能够克服困难并认真检查作业的学生，防止和纠正抄袭别人作业的坏习惯。习惯是人们在长期实践中养成的。因此，培养学生良好的学习习惯，必须贯穿在整个数学教学过程中。要坚持严格要求，示范诱导，反复训练，才能取得预想的结果。
二、在数学教学中注意激发学生的求知欲
（一）、培养学生的学习动机对数学学习活动具有引发、维持与导向作用。因此，在教学中应注意抓住数学内容本身的特点激发学生的学习动机，创设情境诱发学生的学习欲望。
（二）、培养学生的学习兴趣学生只有对所学的知识产生兴趣，才能激发学生的学习愿望，促使学生勤思多想，成为学习的主人。
（三）、培养学生的竞争意识在小学数学教学中，利用小学生好奇、争强、乐胜的心理，适时、适当地开展多种形式的竞赛，如“看谁算得又对又快”、“夺红旗”、“比比谁最聪明”、“解题方法最佳的是谁”……引发学生的竞争意识得到自我评价、自我表现的机会，以不断深化学习动机，把学生从对分数的竞争引向追求知识、提高能力的竞赛。从而达到增添兴趣，扩展思维，发展智能的目的。
一、 浅谈小学数学教学中良好学习习惯的培养。
小学数学大纲把“培养学生良好的学习习惯”作为素质教育的一个重要方面。俄国教育家乌申斯基说过：“良好的习惯是人在他的神经系统中所储存的资本。这个资本不断增值，而人在其整个一生中，就享受着它的利息。”这足可以说明，小学生良好的学习习惯，对他今后的发展将起着重要作用。因此，在小学阶段培养学生良好的数学学习习惯，是每一位数学教师的重要职责。
（一）、培养学生认真阅读数学课本的习惯在小学数学教学中，应注意训练学生阅读数学课本的习惯，使学生具备阅读课本的能力。在数学课中，应使学生把“看、读、思、练”结合起来。从儿童一入学就应该带领学生逐步学会看懂图、式、文，再引导学生弄清术语，理解关键词语，引发学生思考。随着学生年龄和抽象能力的不断提高，对课本内容提出更明确而具体的要求，让学生养成先阅读后做作业的习惯。
（二）、培养学生认真审题的习惯审题是进行正确计算不可缺少的环节。通过审题训练，可以养成学生认真严谨的习惯，引导学生灵活地选择正确合理的计算方法，提高做题的质量与速度。1、作题时，首先学生应读懂题目要求，正确理解题意。这就需要教师在平时注意培养学生读题、理解题的能力，明确题目中究竟要我们做什么、怎么做，然后再进行计算。2、教会学生观察题型，正确运用定律、性质，使计算简便。3、审题要始终贯穿整个解题过程，既要看全题，又要看运算过程出现的新数字、新情况，做到方法得当。正确的审题能够保证正确、迅速的解题，所以培养学生养成良好的审题习惯是非常重要的。
（三）、培养学生勤于动脑，善于思考的习惯学生学习数学这一活动，归根到底是思维的活动，只有勤于动脑，肯于思考，才能理解和掌握数学知识，形成各种数学能力。教师首先要注意激发学生的思考欲望，善于提出启发学生思考的问题，形成学生发现问题、提出问题的良好品质；其次要注意提供适量的思考依据，培养学生有根据、有条理、有序的进行思考的习惯；多角度地寻求解决问题的方法，促使思维水平的逐步提高。
（四）、培养学生认真独立的完成作业和自觉检查的习惯学生的作业反映了学生的学习态度和学习习惯。良好的作业习惯包括：态度认真、及时检查验算、书写工整、独立完成、富有创见等。从学生刚一入校的那天起，就要培养正确的书写姿势，要求书写工整、格式规范。从数字至数的书写、从一位数到多位数、从整数到小数、分数的书写，都要严格要求。独立完成作业是发挥作业应有作用的切实保证，要经常表扬那些能够克服困难并认真检查作业的学生，防止和纠正抄袭别人作业的坏习惯。习惯是人们在长期实践中养成的。因此，培养学生良好的学习习惯，必须贯穿在整个数学教学过程中。要坚持严格要求，示范诱导，反复训练，才能取得预想的结果。
二、在数学教学中注意激发学生的求知欲
（一）、培养学生的学习动机对数学学习活动具有引发、维持与导向作用。因此，在教学中应注意抓住数学内容本身的特点激发学生的学习动机，创设情境诱发学生的学习欲望。
（二）、培养学生的学习兴趣学生只有对所学的知识产生兴趣，才能激发学生的学习愿望，促使学生勤思多想，成为学习的主人。
（三）、培养学生的竞争意识在小学数学教学中，利用小学生好奇、争强、乐胜的心理，适时、适当地开展多种形式的竞赛，如“看谁算得又对又快”、“夺红旗”、“比比谁最聪明”、“解题方法最佳的是谁”……引发学生的竞争意识得到自我评价、自我表现的机会，以不断深化学习动机，把学生从对分数的竞争引向追求知识、提高能力的竞赛。从而达到增添兴趣，扩展思维，发展智能的目的。
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4、化学方程式计算助手
化学方程式计算助手是一款非常实用的软件，它可以帮助学生练习各种化学公式 ，如模拟方程式的配平、溶液混合的运算、式量的计算等，对学生练习化学方程式非常有帮助。
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