Question

标量场的梯度和方向导数各有什么意义

Answer 1

函数f(x1，x2，，xn)在点x0沿方向u=(u1，u2，，un)的方向导数为
af/ax1*u1+af/ax2*u2++af/axn*un=<Df(x0), u>，
其中Df(x0)就是f在x0的梯度向量，<>表示内积。
由Cauchy_Schwartz不等式知道当且仅当u和Df(x0)同方向时，内积最大，
反方向时内积最小;
因此u=Df(x0)/||Df(x0)||时，方向导数最大;
u=-Df(x0)/||Df(x0)||时，方向导数最小。