Question

sinx和x哪个大？为什么?

Answer 1

必须确定x的取值范围才能比较大小。

方法：首先得知道x的取值范围，然后按照以下方法作图即可。

• 构造函数f(x)=x-sinx

• 判断f(x)的单调性区间，一般用求导数的办法来做

• 根据f(0)=0,再根据2中所得到的单调区间，可以得到所有f(x)>0的区间，这就是也就是x>sinx的区间，x<sinx的区间以此类推。

Answer 2

这个题原先高三模拟考时考过，原题是在[-π/2，π/2]区间内，y=x和y=sin x有几个交点，答案是一个，即x=0时有一个交点。该题翻译过来就是，在[-π/2，π/2]区间内，除了x=0时，sinx=x，sinx和x哪个大，当时很多人做错了，都选3个，老师讲解时，只说靠画图，画准一点解决。。。
现在才想明白怎么做了，只有用单位圆解决，先说[0，π/2]区间，[-π/2，0]同理。
在单位圆[0，π/2]区间内，sinx值为与x轴垂直的那条竖线，即sin线，这个好理解，那么x呢？在单位圆内对应哪条线？（这个问题很关键，也是考察各位对单位圆及用π表示角度的能否正确理解）。x是表示角度，我们知道360°角在单位圆中用2π表示，为什么用2π？因为我们在半径为1的单位圆中，绕一圈长度就是2π，即x值对应单位圆中一个圆的弧长度！！！
那么180°角，在单位圆中，就是半圆弧的长度；90°角，就是1/4段圆弧的长度，这样通过单位圆，我们就把角度和圆完美统一了。。。
再回到此题，[0，π/2]区间内，除了x=0这点，只要单位圆中半径线一往90°方向旋转，单位圆的圆弧长度永远大于sin线的直线长度，所以在[0，π/2]区间内，sinx永远小于x，这样可以扩展到x从0到无限大，sinx永远小于x

Answer 3

0<x<½π时，sinx<x<tanx，可由单位四分之一圆得出

Answer 4

设f(x)=x-sinx
得f'(x)=1-cosx≥0
所以f(x)(0,+∞)是单调递增函数
又因为f(0)=0-sin0=0
所以x＞0时，f(x)＞0，x＞sinx
x＜0时，f(x)＜0，x＜sinx
x=0时，f(x)=0，x=sinx