正四面体A—BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是△AB
正四面体A—BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是△ABC与△ACD的重心，则球O截直线MN所得的弦长为___________．...
正四面体A—BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是△ABC与△ACD的重心，则球O截直线MN所得的弦长为___________．
展开
2个回答
展开全部
设球O的半径为r,MN的中点为P.作AE⊥平面BCD于E,则
EP'E是正△BCD的中心，BE=BC/√3=4√3，
AE=√(AB^2-BE^2)=4√6，
O在AE上。由OB^2=OE^2+BE^2得r^2=(4√6-r)^2+48,
解得r=3√6.OE=√6.
延长AM交BC于M',延长AN交CD于N',连M'N'.延长AP交M'N'于P'.
M，N分别是△ABC与△ACD的重心，
∴M',N'分别是BC,CD的中点，AP/AP'=AM/AM'=AN/AN'=2/3,
∴EP'=EC-P'C=4√3-3√3=√3，
∴AP'=√(AE^2+EP'^2)=3√11，cos∠OAP=AE/AP'=4√2/√33，
AP=(2/3)AP'=2√11，
由余弦定理，OP^2=44+54-4√11*3√6*4√2/√33=2，
由对称性知，OP⊥MN,
∴直线MN 被球O所截得弦长为2√(r^2-OP^2)=2√（54-2）=4√13.
EP'E是正△BCD的中心，BE=BC/√3=4√3，
AE=√(AB^2-BE^2)=4√6，
O在AE上。由OB^2=OE^2+BE^2得r^2=(4√6-r)^2+48,
解得r=3√6.OE=√6.
延长AM交BC于M',延长AN交CD于N',连M'N'.延长AP交M'N'于P'.
M，N分别是△ABC与△ACD的重心，
∴M',N'分别是BC,CD的中点，AP/AP'=AM/AM'=AN/AN'=2/3,
∴EP'=EC-P'C=4√3-3√3=√3，
∴AP'=√(AE^2+EP'^2)=3√11，cos∠OAP=AE/AP'=4√2/√33，
AP=(2/3)AP'=2√11，
由余弦定理，OP^2=44+54-4√11*3√6*4√2/√33=2，
由对称性知，OP⊥MN,
∴直线MN 被球O所截得弦长为2√(r^2-OP^2)=2√（54-2）=4√13.
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
华瑞RAE一级代理商
2024-04-11 广告
impulse-4-xfxx是我们广州江腾智能科技有限公司研发的一款先进产品，它结合了最新的技术创新和市场需求。此产品以其卓越的性能和高效的解决方案，在行业内树立了新的标杆。impulse-4-xfxx不仅提升了工作效率，还为用户带来了更优...
点击进入详情页
本回答由华瑞RAE一级代理商提供
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
