Question

高等代数题目如下，谢谢各位大神

题目：当n大于等于1，S是n阶实对称方阵，定义实变量函数f(x)=det(E-xS),求证：x=0为函数f(x)的极大值点的充要条件是Tr(S)=0.

充分性证明中，自己想着可不可以利用判断极值的条件，即一阶导数为0，二阶导数小于零来证明，但是只能证明出一阶导数为零，但是二阶导数不会证明了。或者，哪位大神有别的证明思路，万分感谢。谢谢O(∩_∩)O~

Answer 1

设 S 的特征值为 c_1,...,c_n, 那么 f(x) = (1-c_1x)...(1-c_nx), f'(0) = -(c_1+...+c_n) = -tr(S), f''(0) = 2sum_{i≠j}(c_ic_j) = (c_1+...+c_n)^2 - (c_1^2+...+c_n^2).
如果 tr(S)=0, 并且 S≠0, 那么 f'(0) = 0, f''(0) < 0, 说明 x=0 是 f(x) 的极大值点. 如果 S=0, 那么 f(x)=1, x=0 仍然是极大值点. 所以充分性成立.