Question

高数，关于偶函数的不定积分的原函数问题，如图

高数，关于偶函数的不定积分的原函数问题，如图为什么偶函数的F(x)不一定为奇函数，而∫(0-x)f(t)dt一定是奇函数？

Answer 1

因为正常你算不定积分的时候，会在后面加上一个常数C，这样这个常数C就会影响函数奇偶性。而在[0,x]上求定积分的时候，就不存在常数C了，所以这样求出来的就是奇函数。
比如f(x)=cosx是偶函数，而原函数F(x)=sinx+C，当且仅当C=0的时候才能取得F(x)=sinx为奇函数，其余都不是。而C=0的时候就相当于在[0,x]上的定积分∫cosxdx。（因为对于一个奇函数而言一定有F(0)=0，所以带入上限x以后出现的是F(x)，带入下限以后就是F(0)=C.