Question

判断对数函数单调性~

已知函数F(x)=lg a为底，（x+b)/(x-b)为增数的对数函数，a大于1，b大于0，请讨论函数单调性
不全面，麻烦写上过程

Answer 1

首先肯定定义域:(x+b)/(x-b)>0 所以 x<-b 或 x>b 时有意义.
当x<-b时 (x+b)/(x-b)中x趋向于负无穷时极限为1 趋向于-b时极限为0 易证为单调减 a>1 所以函数单调减
同理,当x>b时 (x+b)/(x-b)中x趋向于正无穷时极限为1 趋向于b时极限为正无穷
易证为单调减 a>1 函数单调减

结论:在定义域 x<-b 或 x>b 中,函数单调减.

你改得好快...

寂寂落定
f(x)=(x+b)/(x-b)=1-2b/(x-b) 此句有误:应等于1+2b/(x-b),此函数为双曲线,定义域内单调递减.

Answer 2

F(x)=loga[(x+b)/(x-b)]
a>0,loga(x)递增
(x+b)/(x-b)>0,(x+b)(x-b)>0
x>b,或x<-b
记f(x)=(x+b)/(x-b)=1+2b/(x-b)
b>0
x>b或x<-b时，f(x)为双曲线，为减函数。
同增异减，F（x)在x<-b或x>b上为减函数。

Answer 3

复合函数
先考虑，g(x)=（x+b)/(x-b)的增减性
设x1<x2
g(x1)-g(x2)=(x1+b)/(x1-b)-(x2+b)/(x2-b)
=[(x1+b)(x2-b)-(x1-b)(x2+b)]/(x1-b)(x2-b)
=(-bx1+bx2-bx1+bx2)/(x1+b)(x2+b)
=2b(x2-x1)/(x1-b)(x2-b)>0

当x1,x2∈(-∞,-b)
g(x)为减函数

当x1,x2∈(b,+∞)
g(x)为减函数

而a大于1 lg a为底 为增函数
所以
当x1,x2∈(-∞,-b)
f(x)为减函数

当x1,x2∈(b,+∞)
f(x)为减函数

注意分段考虑，不是连续函数

Answer 4

因为a大于1，
F(x)=lg a为底，（x+b)/(x-b)为增函数
b大于0

但（x+b)/(x-b)大于0

即x>b或x<-b时函数有意义且为单调递增。

Answer 5

lg a为底，（x+b)/(x-b)为增数？
是什么意思？