Question

希望有详细的解答过程

函数f(x)的定义域为R且满足f(x＋1)＝f(x＋6)＋f(x－4)求f(x)的周期

Answer 1

f(x＋1)＝f(x＋6)＋f(x－4) --------(a)
以x+6代替x+1: f(x+6)=f(x+11)+f(x+1) -------(b)
(a)+(b): f(x-4)+f(x+11)=0 => f(x-4)=-f(x+11)--------(c)
在(c)中以x+4代替x: f(x)=-f(x+15) -------(d)
在(d)中以x+15代替x: f(x+15)=-f(x+30)--------(e)
(e)代入(d)中：f(x)=f(x+30)
所以f(x)周期是30

Answer 2

原式可变换为：f(x)=f(x+5)+f(x-5), 即：f(x+5)=f(x)-f(x-5)
那么：
f(10)=f(5)-f(0)
f(15)=f(10)-f(5)
f(20)=f(15)-f(10)
f(25)=f(20)-f(15)
f(30)=f(25)-f(20)=f(20)-f(15)-f(20)=-f(15)=f(5)-f(10)=f(5)-f(5)+f(0)=f(0)
即f(30)=f(0),
同理可得，f(x+30)=f(x)
故函数周期为30