Question

高数。线性代数。三重特征值有3个线性无关的特征向量，必须秩是0吗？

Answer 1

想想，你怎么求那三个不相关的向量？是不是把-1代进去，然后解x？如果代进去系数矩阵的秩为2，你解得的基础解系是不是一维的？你是不是只能找到一个向量，找不到3个向量？要想找到3个，是不是需要系数矩阵秩是n-3

Answer 2

A是2阶矩阵，所以有2个特征徝，如果不相等那么对应的特征向量必无关，这与已知矛盾

追问

滚！

Answer 3

代数重数（特征值重数）等于几何重数（对应特征值的特征向量个数）是矩阵可以相似对角化的充要条件。本题代数重数3不等于几何重数1，所以不能相似对角化，事实上，如果引入广义特征向量的概念，可以相似为Jordan阵，即
[-1 1 0]
[0 -1 1]
[0 0 -1]

追问

那难道要秩是0吗

追答

是的，事实上，rank=0的矩阵就是零矩阵。这种情况是矩阵本身就已经是对角线元素都是-1的对角矩阵了，不需要或者单位矩阵E可以相似对角化。