Question

高数的无穷小量阶的的比较问题，求选项ABC各自的详细解析，谢谢？

其实我没有很明白题目的意思

Answer 1

首先说一下高阶无穷小概念：比x以更快的速度趋近于0，x→0时,lim[o(x)/x]=0。

例如：

当x→0的时候，x²和x都是无穷小，所以这个无穷小对比也只能是在x→0的时候才能对比。

lim（x→0）x²/x=lim（x→0）x=0

所以x²是比x高阶的无穷小。

同理o（x²）意思：lim（x→0）o（x²）/x²=0，

下面的（x→0）略，为了看得清楚一些：

A选项同是x³的高阶无穷小：右边 lim[o(x³)/x³]=0,  左边 lim[x · o(x²)/x³]=lim[ o(x²)/x²]=0；

看到没有？如果左边不乘x，那么左边只能是x²的高阶无穷小。

B选项同是x³的高阶无穷小：

右边 lim[o(x³)/x³]=0,  左边 lim[o(x) · o(x²)/x³]=lim[ o(x)/x] · lim[ o(x²)/x²]=0；

同理：如果左边不乘o(x)，那么左边只能是x²的高阶无穷小。

C选项同是x²的高阶无穷小：右边 lim[o(x²)/x²]=0, 左边=2o(x²)=2 lim[ o(x²)/x²]=2· 0=0

也就是说虽然前面乘2，但是是常数，求极限时乘上无穷小，极限值还是不变，还是x²的高阶无穷小。

D选项已经有说明，不再解释了。

Answer 2

因为x趋近于零，所以，将展开式中的x四次方以上的项和x(n)·[O(x3)](m) （n,m≥1）都略去了，只留下x(3)和O(x3):
x(3)+O(x3)+x(n)·[O(x3)](m)+O(x4)＝
＝x(3)+O(x3) （n,m≥1）

Answer 3

o(x)是比x高阶的无穷小量, 也就是说x->0时o(x)/x->0, 把这个定义搞懂就可以了, (A), (B), (C)按定义都是成立的, (D)的反例图里有