Question

幂函数能不能展开为幂级数，幂函数的收敛半径如何？

是幂函数，各位不要看错了

Answer 1

并没有直接关系，展开点可以人为选择，先确定展开点x0后进行展开，再根据展开级数的函数特点计算收敛域。对于幂级数∑an(x-x0)^n，它的展开点即为x0,取x=xi, 若∑an(xi-x0)^n收敛，就称xi为幂级数∑an(x-x0)^n 的收敛点，否则称为发散点。此幂级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域。所以收敛半径R不等于0且展开点为非奇点的幂级数，它的展开点属于它的收敛域，不会取到收敛域以外。若取x=xi（xi在收敛域外），则有∑an(xi-x0)^n发散。 “如果展开点为x0(x0不等于0)，那么收敛域为[x0-R,x0+R]?” 错。若一个函数在0点处幂级数展开时收敛域为[-R,R]，那么它在x0处幂级数展开，收敛域要根据幂级数的特性重新计算，不能直接为[x0-R,x0+R] .