Question

x²e的2x次方不定积分，分部积分法

Answer 1

计算过程如下：

∫x^2e^(-x)dx

=∫x^2e^(-x)(-1)d(-x)

=-∫x^2de^(-x)

=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)dx^2

=-x^2e^(-x)+∫e^(-x)2xdx

=-x^2e^(-x)-2∫xde^(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)+2∫e^(-x)(-1)d(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2∫de^(-x)

=-x^2e^(-x)-2xe^(-x)-2e^(-x)+C

=-e^(-x)*(x^2+2x+2) +C

由定义可知：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。