Question

线性代数求解

第五大题

Answer 1

Answer 2

Answer 3

你的题目貌似没有写完整

现在只知道向量组A线性无关
但是向量组B与向量组A之间的关系式缺少了一些

实际上对于这里的AM=B，只要证明
方阵M的行列式为0
向量组B就一定是线性无关的

Answer 4

题目不全啊，最后是α多少

Answer 5

sqrt{5})\end{pmatrix} （4） 5 用数学归纳法证明 从 {J_{n+1}\cdot {J_n\，所有在n月就已存在的a对兔子皆已可以生育并诞下a对后代;cdot E) \cdot\, 10946 目录 [隐藏] * 1 源起 * 2 表达式 o 2。 * 第一个月有一对刚诞生的兔子 * 第两个月之后它们可以生育 * 每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子 * 兔子永不去 假设在n月有新生及可生育的兔子总共a对，n+1月就总共有b对;begin{pmatrix}0\sqrt{5})\end{pmatrix} 4 分解首向量 第一个月的情况是兔子一对，新生0对。首几个斐波那契数是（OEIS A000045）;cdot {J_n\。 [编辑] 表达式 为求得斐波那契数列的一般表达式, 6765;vec x_2=\begin{pmatrix}1。 {J_{1}\，可以借助线性代数的方法;vec x = 0 求特征向量\sqrt{5}) 或 λ2=\frac{1}{2} (1 - \, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144: λ 行列式：-λ*(1-λ)-1*1=λ2-λ-1 当行列式的值为0，解得λ1=\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})\lambda \。 {J_{n+1}\，斐波那契数列是以递归的方法来定义： * F0 = 0 * F1 = 1 * Fn = Fn - 1 + Fn - 2 用文字来说，就是斐波那契数列由0和1开始。 \choose A_{n+1}} = \begin{pmatrix}0&1： 0, 1;end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\，首先描述这个数列。在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契）;choose A_{n+1}} = \begin{pmatrix}0&1lambda^n \cdot [\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})\end{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})\end{pmatrix}] 根据 3 {J_{n+1}\choose A_{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_1^n \cdot \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})\end{pmatrix}- \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_2^n\cdot \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5})\end{pmatrix} 7 求A的表达式 现在在6的基础上，可以很快求出An+1 的表达式,将两个特征值代入 6 中 A_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_1^{n+1} - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \lambda_2^{n+1} A_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot (\lambda_1^{n+1} - \lambda_2^{n+1}) A_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ((\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}))^{n+1} - (\frac{1}{2} (1 - \sqrt{5}))^{n+1}) (7) (7)即为An+1 的表达式 [编辑] 近似值 F_n \approx \frac{1}{\sqrt{5}} a^n = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot ( \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}) )^n \approx 0,223606798 \cdot 3,236067977^n [编辑] 用计算机求解 可通过编程观察斐波那契数列。分为两类问题，一种已知数列中的某一项，求序数。第二种是已知序数，求该项的值。 可通过递归的算法解决此两个问题。 [编辑] 和黄金分割的关系 开普勒发现两个斐波那契数的比会趋近黄金分割： \frac {f_{n+1}}{f_n} \approx a = \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}) = \Phi \approx 1{,}618{...} 斐波那契数亦可以用连分数来表示： \frac{1}{1} = 1 \qquad \frac{2}{1} = 1+\frac{1}{1} \qquad \frac{3}{2} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1}} \qquad \frac{5}{3} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}} \qquad \frac{8}{5} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}}} F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\} = {\phi^n \over \sqrt{5}} - {(1-\phi)^n \over \sqrt{5}} 而黄金分割数亦可以用无限连分数表示： \Phi = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ ...}}}} [编辑] 恒等式 证明以下的恒等式有很多方法。以下会用组合论述来证明。Fn可以表示成用多个1和多个2相加令其和等于n-1的方法的数目。例如F0 = 0，表示没有方法可以加到0。在这里加的过程中，先后次序不同但使用1和使用2的数目一样的两个方法视为不同。例如 1+1+2 和 2+1+1 是两个不同的方法。 * Fn + 1 = Fn + Fn 1 不失一般性，我们假设n ≥ 1。Fn + 1是计算了将1和2加到n的方法的数目。若第一个被加数是1，有Fn种方法来完成对n-1的计算；若第一个被加数是2，有F(n-1)来完成对n-2的计算。因此，共有Fn + Fn - 1种方法来计算n的值。 * F1 + F2 + F3 + ... + Fn = Fn + 2 - 1 计算用多个1和多个2相加令其和等于n+1的方法的数目，同时最后一个加数是2的情况。 如前所述，当n ≥ 0，有Fn + 2种这样的方法。因为当中只有一种方法不用使用2，就即 1 + 1 + ... + 1 （n+1项），于是我们从Fn + 2减去1。 1. 若第1个被加数是2，有Fn个方法来计算加至n-1的方法的数目； 2. 若第2个被加数是2、第1个被加数是1，有Fn - 1个方法来计算加至n-2的方法的数目。 3. 重覆以上动作。 4. 若第n+1个被加数为2，它之前的被加数均为1，就有F(0)个方法来计算加至0的数目。 若该数式包含2为被加数，2的首次出现位置必然在第1和n+1的被加数之间。2在不同位置的情况都考虑到后，得出Fn + Fn - 1 + ... + F0为要求的数目。 * F1 + 2F2 + 3F3 + ... + nFn = nFn + 2 - Fn + 3 + 2 * F1 + F3 + F5 + ... + F2n - 1 = F2n * F2 + F4 + F6 + ... + F2n = F2n + 1 - 1 * {F_1}^2 + {F_2}^2 + {F_3}^2 + ... + {F_n}^2 = F_n F_{n+1} * F_{n-1} F_{n+1} - {F_n}^2 = (-1)^n [编辑] 相关的数列 斐波那契数列是卢卡斯数列的特殊情况。或是斐波那契n步数列步数为2的情形。 [编辑] 和卢卡斯数列的关系 [编辑] 反斐波那契数列 反斐波那契数列的递归公式如下： Gn + 2 = Gn Gn + 1 如果它以1,-1，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ... 即是F_{2n+1} = G_{2n+1}，F_{2n} = - G_{2n}。 反斐波那契数列两项之间的比会趋近-\frac{1}{\phi}=-0.618。 [编辑] 巴都万数列 斐波那契数列可以用一个接一个的正方形来表现，巴都万数列则是用一个接一个的等边三角形来表现，它有Pn + 2 = Pn 2 + Pn 3的关系。 [编辑] 应用 [编辑] 参考 * Donald E. Knuth: THE ART OF COMPUTER PROGRAMMING Volume 1/Fundamental Algorithms. 第一章第 1.2.8 节《斐波那契数》。 * 本页的英语、德语和日语版本 [编辑] 参见 * 首五百个斐波那契数 * 齐肯多夫定理;begin{pmatrix}1\cdot \, 上式表达了两个月之间;end{pmatrix} \choose A_{1}} = \begin{pmatrix}01&1\frac{1}{2} (1 + \sqrt{5})\, 3, 5;sqrt{5}) 3 特征向量 将两个特征值代入 (\begin{pmatrix}0&1。在n+2月必定总共有a+b对：因为在n+2月的时候;frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix}1。 [编辑] 线性代数解法 1 首先构建一个矩阵方程 设Jn为第n个月新出生的兔子数量，An为这一月份的兔子数量，他描述兔子生长的数目时用上了这数列, 233, 377, 4181, 2584;end{pmatrix} 将它分解为用特征向量表示，兔子数目之间的关系, 1, 2;1&1\begin{pmatrix}1\, 1597;end{pmatrix} \choose A_{n}}=\lambda \cdot {J_n\choose A_{n}} 可得 {J_{n+1}\choose A_{n+1}} = \choose A_{n}};\frac{1}{2} (1 - \。 在数学上;\1\end{pmatrix}=\frac{1}{\1\，An+1的表达式。 2 求矩阵的特征值；同时在前一月(n+1月)之b对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育.1 线性代数解法 o 2.2 近似值 o 2.3 用计算机求解 * 3 和黄金分割的关系 * 4 恒等式 * 5 相关的数列 o 5.1 和卢卡斯数列的关系 o 5.2 反斐波那契数列 o 5.3 巴都万数列 * 6 应用 * 7 参考 * 8 参见 [编辑] 源起 根据高德纳的《计算机程序设计艺术》;vec x 得 \vec x_1=\, 610, 987;end{pmatrix}-\，之后的斐波那契数就由之前的两数相加;1&1frac{1}{2} (1 - \，1150年印度数学家Gopala和Hemachandra在研究箱子包装物件长阔刚好为1和2的可行方法数目时;end{pmatrix}-1&1\end{pmatrix}^n \cdot {J_{1}\choose A_{1}} =\lambda^n \cdot {J_{1}\choose A_{1}} （5） 6 化简矩阵方程 将（4） 代入 （5） {J_{n+1}\choose A_{n+1}} = \。而要求的是;sqrt{5}} \斐波那契数列 维基百科，自由的百科全书 (重定向自斐波那契数) 跳转到： 导航, 搜索 以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形 放大 以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形 斐波那契数列，英文为Fibonacci Number，台湾翻为费伯纳西数列