求下列不定积分?
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∫ (cosx)^(n+1) dx
=∫ (cosx)^n dsinx
=(cosx)^n sinx - ∫sinxd(cosx)^n
=(cosx)^n sinx + n∫ sin²x (cosx)^(n-1)dx
=(cosx)^n sinx + n∫ (1-cos²x) (cosx)^(n-1)dx
=(cosx)^n sinx + n∫(cosx)^(n-1)dx - n∫ (cosx)^(n+1) dx
则∫ (cosx)^(n+1) dx =1/(n+1) [(cosx)^n sinx + n∫ (cosx)^(n-1) dx] (n≥1)
=∫ (cosx)^n dsinx
=(cosx)^n sinx - ∫sinxd(cosx)^n
=(cosx)^n sinx + n∫ sin²x (cosx)^(n-1)dx
=(cosx)^n sinx + n∫ (1-cos²x) (cosx)^(n-1)dx
=(cosx)^n sinx + n∫(cosx)^(n-1)dx - n∫ (cosx)^(n+1) dx
则∫ (cosx)^(n+1) dx =1/(n+1) [(cosx)^n sinx + n∫ (cosx)^(n-1) dx] (n≥1)
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