Question

求解一阶常微分方程

第7个

Answer 1

为书写方便，令f(x)=y，则上式可改写为：y'+2y=2x...........①；

先求齐次方程 y'+2y=0的通解：分离变量得 dy/y=-2dx；积分之得：lny=-2x+lnc；

故齐次方程的通解为：y=c₁e^(-2x)；将c₁换成x的函数u，得y=ue^(-2x)..........②

对②的两边取导数得：y'=u'e^(-2x)-2ue^(-2x)..........③

将②③代入①式得：u'e^(-2x)-2ue^(-2x)+2ue^(-2x)=2x

化简得：u'e^(-2x)=2x；即有du=2xe^(2x)dx；

取积分得：u=∫2xe^(2x)dx=∫xd[e^(2x)]=xe^(2x)-∫e^(2x)dx=xe^(2x)-(1/2)∫e^(2x)d(2x)

=xe^(2x)-(1/2)e^(2x)+C=(x-1/2)e^(2x)+C;

代入②式即得通解为：f(x)=[(x-1/2)e^(2x)+C]e^(-2x)=Ce^(-2x)+x-(1/2);

因为f(0)=0，所以 C=1/2;  故满足初始条件的特解为：f(x)=(1/2)[e^(-2x)-1]+x;

Answer 2

Answer 3

f(x) + 2∫(0->x) f(t) dt = x^2
x=0, => f(0) =0
两边求导
f'(x) + f(x) = 2x
let
yg= Ce^(-x)
yp= Ax +B
yp'= A
yp'+yp =2x
Ax +(A+B) = 2x
A=2 and A+B=0
A=2 and B=-2
通解
f(x) = yg+yp = Ce^(-x) +2x-2
f(0) =0 =>C=2
ie
f(x) = 2e^(-x) +2x-2