互为反函数的函数的两个图像的交点一定在直线y＝x上吗？
我做题时遇到一个问题（见下图），很疑惑。两个互为反函数的图像交点不该在y＝x上吗？那么这个点的横坐标不该等于纵坐标吗？是不是答案有问题啊？还是我的思路有问题啊？跪求大佬帮...
我做题时遇到一个问题（见下图），很疑惑。两个互为反函数的图像交点不该在y＝x上吗？那么这个点的横坐标不该等于纵坐标吗？是不是答案有问题啊？还是我的思路有问题啊？跪求大佬帮忙！
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3个回答
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嗯你错了，原函数和反函数交点未必就在y=x上。
我只要举出反例就能证明你的说法错误
反例1，本题
反例2，y = 1/x，其实它和反函数是同一个函数，也就是说处处都是交点，除了(1,1)(-1,-1)以外，都不满足
原函数和反函数交点只有在原函数是单调增函数时，在y=x上这个结论才成立
这是因为，假定交点坐标是(x0, y0)，则(y0,x0)，也必为交点，即这两个点都在原函数上，也都在反函数上，这是因为二者关于y=x对称导致的。
我们只看其中一个，比如原函数，比如是增函数，则x0 <= y0 能推出 x0 >= y0，所以只能是x0=y0，这样证明完毕。
如果是减函数，则没有这个问题：
x0 < y0 那么正好函数值, y0 > x0，所以就不必要在y=x上了，在哪都行，只不过，交点会成对出现，且都关于y=x对称。
我只要举出反例就能证明你的说法错误
反例1，本题
反例2，y = 1/x，其实它和反函数是同一个函数，也就是说处处都是交点，除了(1,1)(-1,-1)以外，都不满足
原函数和反函数交点只有在原函数是单调增函数时，在y=x上这个结论才成立
这是因为，假定交点坐标是(x0, y0)，则(y0,x0)，也必为交点，即这两个点都在原函数上，也都在反函数上，这是因为二者关于y=x对称导致的。
我们只看其中一个，比如原函数，比如是增函数，则x0 <= y0 能推出 x0 >= y0，所以只能是x0=y0，这样证明完毕。
如果是减函数，则没有这个问题：
x0 < y0 那么正好函数值, y0 > x0，所以就不必要在y=x上了，在哪都行，只不过，交点会成对出现，且都关于y=x对称。
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