Question

高斯公式正负号

这里为什么有负号呢？取上侧不是外侧吗？

Answer 1

高斯公式只能应用于闭合曲面，非闭合的曲面也要补成闭合曲面。这样正负方向就很好分了，从里向外和从外向里，一个正另一个就是负。
举几个栗子：
1.一个充气气球，内部气体把它撑膨胀，这个力的方向从气球内向外，继续充气，当这个力越来越大的时候气球将被撑破！设这个向外为正方向。
2.一个高压锅，假如里面有一个物体悬停在锅中心，那它受到的压力均从此物体外指向物体内，继续加热高压锅，最后高压锅不炸的话这个物体会被压碎。设这个就是反方向。
3.当把气球放进高压锅时，高压锅继续加热，气球继续充气，向里向外的力方向相反抵消，结果气球不会爆也不会被压碎。
切记，不要做这个实验呀！！！
类比高数计算题，积分式子就是这个力的大小，积分区域就是这个气球，正负就是这个力的方向。

Answer 2

题目会告诉你积分曲面的方向。假如所积分的曲面是闭合的曲面，那么方向向里就是负号，向外就是正号。假如所给的曲面不是闭合的，这时你需要作辅助面使其成为闭合的曲面，这时，方向向里为负号，外为正号。
用高斯定理进行第二类曲面积分，往往是曲面较为复杂而通过添加简单的曲面，如，平面（尤其是平行于坐标面得平面），就可形成闭合曲面。而一般情况，还是直接积分比较好。如果辅助面在上侧，那么，法向量向上是正的，如果辅助面在下侧，那么法向量向下才是正的。