Question

设函数f(x)=x|x-a|+b, a,b∈R

（1）若a=b=1，求f（x）在[0,2]上的值域
（2）若函数f（x）在[0,1]上存在零点，求实数b的取值范围

Answer 1

解
又绝对值的几何意义可知
当x在ab之间时，不妨设a>b
f（x）=|x-a|+|x-b|有最小值即为ab两点间距离
则有|a-b|=2
又因为f（x）在R上为偶函数
所以f（x）=|x-a|+|x-b|
f（-x）=|-x-a|+|-x-b|=|x+a|+|x+b|
即有|x+a|+|x+b|=|x-a|+|x-b|
则有两种可能，
①|x+a|=|x-a|，|x+b|=|x-b|，得到a=b=0
②|x+a|=|x-b|，|x+b|=|x-a|，得到a+b=0
那么无论如何都有a+b=0，即b=-a成立
结合|a-b|=2，就能得到a=1，b=-1
因此f（x）=|x-1|+|x+1|
f（a）+f（b）-f（0）
=f（1）+f（-1）-f（0）
=2+2-2=2，即为所求