Question

有关圆的方程的问题，不会

Answer 1

分析：圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，本题求的就是r
解：针对原方程x²+y²-2(t+3)x+2(1-4t²)y+(4t²)²+9=0, 变形为圆的标准方程
[x-(t+3)]²+[y+(1-4t²)]²=(t+3)²+(1-4t²)²-[(4t²)²+9]
上式方程右边展开，化简
(t+3)²+(1-4t²)²-[(4t²)²+9]=t²+6t+9+1-8t²+(4t²)²-(4t²)²-9
=-7t²+6t+1
=(1+7t)(1-t)
1）求t的取值，就是要满足(1+7t)(1-t)>0, 则t的取值范围 -1/7<t<1
2）求圆的最大面积，就是求-7t²+6t+1的最大值。 最大值为
(-28-36)/(-28)=16/7
3）点在圆内，就是点到圆心的距离小于圆半径。
[(t+3)-3]²+[(4t²-1)-4t²]²= t²+1
要满足条件，则需满足 t²+1<16/7
t²<9/7, -3(√7)/7<t<3(√7)/7
由(1)问，t的取值范围 -1/7<t<1，得
当 -1/7<t<1时，点（3,4t²）恒在圆内。

注：对于一元二次方程 y=ax²+bx+c，当a<0时，有最大值(4ac-b²)/(4a)