Question

设f(x)连续，且f(x)=x+2∫10f(t)dt.则f(x)=

Answer 1

设A=∫f(t)dt,积分上限是1,下限是0
则f(x)=x+A
A=f(x)-x
所以
f(x)=x+2∫f(t)dt
=x+2∫(t+A)dt
=x+2*(t^2/2+At)(1,0)
=x+2*(1/2+A)
=x+1+2A
=x+1+2(f(x)-x)
=x+1+2f(x)-2x
=2f(x)-x+1
所以
f(x)=x-1

Answer 2

解：因为定积分3∫(0,2)f(t)dt是一个定值，与自变量x无关，所以设3∫(0,2)f(t)dt=C(常数)，
则由题意，f(x)=x+C,所以3∫(0,2)f(t)dt=3∫(0,2)(x+C)dt=3(1/2*2²+C*2-0)=6+6C
从而f(x)=x+6+6C=x+C，于是C=-6/5,则f(x)=x-6/5. (选A)