Question

线性代数，

Answer 1

线性空间的维数n是指，这个线性空间中，有n个元素（向量）线性无关，任何n+1个元素（向量）都是线性相关的。那么n就是这个线性空间的维数。实际上也就是这个线性空间的最大无关组中元素（向量）的数量。
W1的维数是3，说明W1中的三个向量线性无关。
w2的维数是3，说明w2中的四个向量线性相关，其中能找到3个向量线性无关。
w3的维数是4，说明w3中的4个向量线性无关。
然后要求w4的最大线性无关组向量数量。
首先w4中有4个向量，所以维数最大只可能是4。第1个向量+第2个向量=第3个向量
所以这4个向量不是线性无关，所以维数最大只可能是3。
w3的维数是4，说明w3中的4个向量a1、a2、a3、a4+a5线性无关，所以a1、a2、a3也线性无关（线性无关组中的向量组成的任意组合都必然线性无关）
w2的维数是3，说明w3中的4个a1、a2、a3、a4向量线性相关，而a1、a2、a3线性无关，所以a4可以用a1、a2、a3表示，即a4=k1a1+k2a2+k3a3，带入w3得到
a1、a2、a3、（k1a1+k2a2+k3a3+a5）线性无关，经过等效变换得到
a1、a2、a3、a5线性无关
所以a5-a1-a2-a3-a4=a5-（k1+1）a1-（k2+1）a2-（k3+1）a3
因为a1、a2、a3、a5线性无关，所以a5-（k1+1）a1-（k2+1）a2-（k3+1）a3和a1、a1+a2也线性无关
所以w4的最大无关组有3个向量
w4的维数是3