Question

从一至一千这1000个自然数中不能被357中任何一个自然数整除的数一共有多少个？

Answer 1

能被3整除的自然数有：1000除3等于333（个）余1，能被5整除的自然数有：1000除5等于200个，能被7整除的自然数有：1000除7等于142个余6，既能被3整除又能被5整除的自然数有：1000除15等于66个余10。

既能被3整除又能被7整除的自然数有：1000除21等于47个余13，既能被5整除又能被7整除的自然数有：1000除35等于28个余20，能同时被3、5、7整除的自然数的个数有：1000除（3乘以5乘以7）等于9个余55，能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：333加200加142减去66加47减去28加9等于457个。

所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一有：1000减去457等于543个。

Answer 2

不能被357中任何一个自然数整除，也就是不能被3整除，也不能被5整除，也不能被7整除。这样的数有457个。
能被3整除的有333个，先去掉；剩下的667个数中能被5整除的有134个，也去掉；剩下533个中能被7整除的有76个，再去掉，就剩457个了。

Answer 3

设[x]表示不大于x的最大整数，由容斥原理，
1至1000的整数中能被3,5,7之一整除的整数的个数
=[1000/3]+[1000/5]+[1000/7]-[1000/15]-[1000/21]-[1000/35]+[1000/105]
=333+200+142-66-47-28+9
=543，
所以1至1000的整数中不能被3,5,7中任何一个整除的整数的个数=1000-543=457.

Answer 4

解:这1000个数中同时破3，5，7整除的数是被105整除的数，共9个。所以题中不能破3，5，7中任何一个自然数整除的数一共有991个。