Question

为什么常系数非齐次微分方程求通解时是有齐次方程通解加一个特解

为什么要这么算，请高手指教

Answer 1

首先要分析齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程的解的特点，再由此确定通解的结构。

以二阶为例，对于二阶齐次线性微分方程，解的特点是：任意两个解的和还是解；任意一个解乘以一个非零实数还是解。把这两个特点综合一下，就是任意两个解的线性组合还是解，那么y=C1y1+C2y2是不是就是通解呢？不一定。前面的第二个特点说了，y1与y2有可能只是相差一个常数倍数，只有y1/y2≠常数时，y=C1y1+C2y2才是通解。我们把y1/y2≠常数这种情况称为两个函数y1,y2的线性无关（高阶线性方程时时情形，以及线性无关的一般定义，请参加课本）。

接下来再研究二阶非齐次线性微分方程，还是先看解的特点，齐次方程时的那两个特点不再成立了，这里的特点是：非齐次方程的任意两个解的差是对应的齐次线性微分方程的解；非齐次方程的一个解加减齐次方程的一个解后还是非齐次方程的解。如果事先知道了非齐次线性方程的一个特解Y*，那么非齐次方程的任意一个解y与Y*的差y-Y*是对应的齐次线性方程的解，前面已经研究了二阶齐次线性微分方程的通解y=C1y1+C2y2，所以y-Y*可表示为y-Y*=C1y1+C2y2，所以y=Y*+C1y1+C2y2。表达式y=Y*+C1y1+C2y2符合二阶微分方程的通解的要求，所以y=Y*+C1y1+C2y2就是二阶非齐次线性微分方程的通解了。

线性微分方程的解的特点以及通解的结构，在做题时常常会用到。比如知道了方程的通解，如何快速的求出对应的微分方程？

Answer 2

答：
因为非齐次方程可以看出是齐次方程和特解方程两个方程的叠加

Answer 3