Question

证明:n阶方阵a是数量矩阵(即a=ae)的充分必要条件是,a的不变因子都不是常数

Answer 1

设矩阵A=(aij), 则xE－A为其特征矩阵。

当A＝aE时候，xE－A的不变因子为x-a,...,x-a (共n个), 因而A的不变因子不是常数1.

当A的不变因子都不是常数时，即是A的不变因子均满足次数大于0，不妨设不变因子分别为d1(x),...,dn(x). 因为d1(x)|d2(x), d2(x)|d3(x),...,dn-1(x)|dn(x),且|xE-A|的次数为n，且等于d1(x)d2(x)...dn(x). 所以A的全部不变因子都相同，不妨设为x－a， 因此A相似于一个数量阵，不妨设A＝X^{-1}(KE)X, 从而A＝kX^{-1}X=kE, 即是A是数量矩阵。