Question

一道难题，求第二问详细解题过程，麻烦各位大了。

Answer 1

（1）、如图所示：

因为在平行四边形ABCD中有AD=BC，AD∥BC，所以∠CAD=∠ACB，

又因为∠PAD=∠ACD=α，有∠PAE=∠BCF，且AE=CF，所以△APE≌△CBF（SAS）。

（2）、如图所示，过点A作AG⊥BP，垂足G在BP上：

在平行四边形ABCD中由∠AOB=90°可知平行四边形ABCD为菱形，

则有AB=AD=AP，∠ACD=∠BAC=∠CAD=∠PAD=40°，可知∠PAB=120°，

所以△PAB为∠PAB=120°的等腰三角形，∠ABP=∠APB=30°，BG=PG，

又因为AB=6，所以在∠ABP=30°的直角△ABG中易算得AG=AB/2=3，

则BG=PG=3√3，BP=6√3，因为题（1）已证△APE≌△CBF，

有PE=BF，所以BE+BF=BE+PE=BP=6√3。

（3）、如图所示，过点P作PH⊥BC，垂足H在BC上，PH交AD于点I。

在平行四边形ABCD中由OB=OC可知平行四边形ABCD为矩形，

又因为∠ACD=∠PAD=60°，所以△AOB和△COD为全等的等边三角形，有AO=CD，

因为题（1）已证△APE≌△CBF，有PE=BF，所以BE+BF=BE+PE，

即题意为在AO取一点E，使得BE+PE取得最小值，

显然当点E与点B、P在同一直线上时取得最小值，

在AB=6，∠BAC=60°的直角△ABC中算得BC=6√3，则AP=AD=BC=6√3，

在∠PAD=60°的直角△PAI中算得AI=BH=3√3，PI=9，则PH=PI+HI=9+6=15，

所以在直角△PBH中由勾股定理可算得PB=6√7，即BE+BF的最小值为6√7。