Question

关于定积分几何应用求绕x=2旋转体积 绕x轴我会 但是绕x=2就不会了 求指点

我写的答案看不懂

Answer 1

微元法：任取x,x+dx小段，绕y轴旋转，得一个空心圆柱体，沿平行于y轴剪开，得一个长方体：厚为dx,宽为f(x),长2πx(圆的周长），故dV=2πxf(x)dx。

微元法是在横坐标为x处取的宽为dx的圆环薄片，此时薄片的高等于上面的曲线对应的函数√(2x-x^2)减去下面的曲线对应的函数x，而圆环薄片的半径是(2-x)。所以体积微元dV＝2π(2-x) * [√(2x-x^2)-x] * dx，而所求体积自然是上述微元从0到1积分。

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

Answer 2

题主给出的解法被称为微元法，而且是在横坐标为x处取的宽为dx的圆环薄片，此时薄片的高等于上面的曲线对应的函数√(2x-x^2)减去下面的曲线对应的函数x，而圆环薄片的半径是(2-x)。所以体积微元
dV＝2π(2-x) * [√(2x-x^2)-x] * dx.
而所求体积自然是上述微元从0到1积分。

追问

还是不懂这个微元法 不懂这个高半径都是干嘛的还有2π哪里来的😂

追答

旋转而得的立体是一个中间圆台形镂空、以x＝2为旋转轴的立体，所谓在[0,1]上取小区间[x,x+dx]，实际上是在x处取了一个厚为dx、环绕直线x＝2的圆环，该圆环的周长是2π(2-x)，高是上半圆周对应的函数减去直线对应的函数，厚度是dx，周长×高×厚度就是微元dV