Question

四棱锥E-ABCD,底面ABCD是矩形，平面EDC垂直于底面ABCD，ED=EC=BC=4,CF垂

四棱锥E-ABCD,底面ABCD是矩形，平面EDC垂直于底面ABCD，ED=EC=BC=4,CF垂直于平面BDE,且点F在EB上
1 求证DE垂直于平面BCE
2 求三棱锥A-BDE的体积

Answer 1

第一问：因为平面EDC垂直于底面ABCD，其公共直线为CD，且BC垂直于CD，故BC垂直于平面EDC，故ED垂直于BC（位于平面BCE上)。
又因为F在EB上，故CF在平面BCE上，而CF垂直于平满BDE，故ED垂直于CF。
因为CF和BC都为平面BCE上的直线且不平行，故DE垂直于平面BCE。

第二问：由于DE垂直于平面BCE，所以∠DEC=90°，所以由勾股定理可得DC=4√2。
四棱锥E-ABCD的高由勾股定理可得为2√2. 所以四棱锥E-ABCD的的体积为（4√2*4*2√2）/3 = 64/3
而三棱锥E-BCD的体积为（4√2*4/2*2√2）/3 = 32/3
故三棱锥A-BDE的体积即为三棱锥E-ABD的体积V=64/3-32/3=32/3