Question

将ln(1-x)/(1-x)展开成x的幂级数

Answer 1

一般的，f(x)在x=x0处展开成幂级数为：
f(x)=f(x0)+f(x0)'(x-x0)+f(x0)''(x-x0)²/2+f(x0)"'(x-x0)³/3!+……+f(x0)(n)(x-x0)^n/n!+……+
此题中，x0=0,f(0)=0,f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),
f(x)'=1/(1+x)+1/(1-x)
f(x)"=-1/(1+x)²+1/(1-x)²
f(x)"'=2!/(1+x)³+2!/(1-x)³
f(x)(n)=(-1)^(n-1).(n-1)!/(1+x)^n+(n-1)!/(1-x)^n
显然f(x)的在x=0处的偶数导数为0
所以f(x)=2x+2x³/3+2x^5/5+……+2x^(2n+1)/(2n+1)+……
希望你能看懂并能对你有所帮助

追问

呃f(x)不是ln(1+x)-ln(1-x)啊

追答

哦

Answer 2

这个需要设
S(x)=ln(1-x)/(1-x)
=∑an·x的n次方
变形得到
(1-x)S(x)=ln(1-x)
根据对应系数相等，然后就可以求出S(x)的各项系数了。

追问

谢谢你

追答