Question

锐角三角形ABC，AB=4倍根号2，角BAC=45度，角BAC的平分线交BC于D,M，N分别是AD和AB上动点，则BM+MN的最小

Answer 1

在AC上取一点E，使得：AE
=
AN
，连接ME、BE。
在△AME和△AMN中，AE
=
AN
，∠MAE
=
∠MAN
，AM是公共边，
所以，△AME
≌
△AMN
，可得：ME
=
MN
。
BM+MN
=
BM+ME
≤
BE
，
当B、M、E三点共线时，BM+MN
有最小值等于
BE
。
点E在AC上，BE的最小值等于点B到AC的距离，
当BE⊥AC于E时，BE有最小值为：AB·sin∠BAC
=
4
。
所以，BM+MN的最小值是
4
。