Question

数学难题求解

Answer 1

设
(2A-1)/B
=
k
是整数。则
A=(kB+1)/2.
将其代入
(2B-1)/A
得到
(2B-1)/A
=
(4B-2)/(kB+1)
也是整数。
容易看出，当
k>=4
时必有
4B-2<kB+1，此时
(2B-1)/A
不是整数。因此必有
k=1,2,3.
若
k=1，则
A=(B+1)/2，(2B-1)/A=(4B-2)/(B+1)=4-6/(B+1).
由
B>1，所以只有
B=
2
或
5
时
(2B-1)/A
才是整数。结合
A=(B+1)/2
是大于1的整数可知此时
B=5，A=3.
(由对称性，A=5，B=3也是解)
若
k=2，则
(2B-1)/A=(4B-1)/(2B+1)=2-3/(2B+1).
由于
B>1，所以此时无解。
若
k=3，则
(2B-1)/A=(4B-1)/(3B+1)=1+(B-2)/(3B+1)。
由于
B-2<3B+1，所以此时只能有
B=2，但是
A=(3*2+1)/2
不是整数，所以此时也无解。
综上，A=3，B=5
或者
A=5，B=3.
A+B=8